Billiards and intergrable systems

Abstract

Обзор посвящен классу интегрируемых гамильтоновых систем и классу интегрируемых биллиардов, а также недавним результатам авторов и их учеников по задаче сравнения этих классов с точки зрения послойной гомеоморфности их слоений Лиувилля. Ключевым инструментом здесь оказались введенные В. В. Ведюшкиной биллиарды на кусочно-плоских CW-комплексах - топологические биллиарды и биллиардные книжки. Приведено построение класса эволюционных (силовых) биллиардов, введенных недавно А. Т. Фоменко и позволяющих моделировать систему сразу в нескольких неособых зонах энергии при помощи одного биллиарда, а также его применение для геодезических потоков на двумерных поверхностях и систем механики. Обсуждаются другие интегрируемые обобщения классического биллиарда, включая биллиарды с потенциалами, биллиарды в магнитном поле, биллиарды с проскальзыванием. Биллиардные книжки с потенциалом Гука, склеенные из плоских софокусных или круговых столов, моделируют четырехмерные полулокальные особенности слоений интегрируемых систем, содержащие невырожденные положения равновесия. Рассмотрение пересечения нескольких софокусных квадрик в $\mathbb{R}^n$ приводит к обобщению теоремы Якоби-Шаля. Библиография: 144 названия.

Asymptotic behaviour of energy levels of a quantum free particle in an elliptic sector

“…In the case of a circle, the degree of this additional integral can be lowered, since the angular momentum relative to the center of the circle is conserved. In recent works by A. T. Fomenko and V. V. Vedyushkina (state of the art is reviewed in [9], also see other works by these authors), new class of integrable systems, so called 'billiard books', was introduced and investigated. Configuration space of such a new system is obtained by glueing a finite number of domains bounded by arcs of confocal quadrics along the boundary segments.…”

“…The interior of the domain B ε contains no singular point of the elliptic coordinates (9). Thus there are no condition like continuity of displacement or gradient.…”