Мы даем обзор ситуации с интегрируемостью геодезических потоков на трехмерных многообразиях $\mathcal M^3$, допускающих одну из трех групповых геометрий в смысле Тeрстона, обращая особое внимание на случай $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$. Основными примерами являются факторы $\mathcal M^3_\Gamma=\Gamma\backslash \operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$, где $\Gamma \subset \operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$ - кофинитная фуксова группа. Мы показываем, что соответствующее фазовое пространство $T^*\mathcal M_\Gamma^3$ содержит две открытые области с интегрируемым и хаотическим поведением, в которых топологическая энтропия равна нулю и положительна соответственно. В качестве конкретного примера мы рассматриваем модулярное 3-многообразие с модулярной группой $\Gamma=\operatorname{PSL}({2,\mathbb Z})$. Известно, что в этом случае $\mathcal M^3_\Gamma$ оказывается гомеоморфным дополнению к узлу-трилистнику $\mathcal K$ в 3-сфере. Э. Жис доказал замечательный факт: поднятие периодических геодезических с модулярной поверхности на $\mathcal M^3_\Gamma$ приводит к тому же изотопическому классу узлов, который возник в хаотической версии знаменитой системы Лоренца и был подробно изучен Дж. Бирман и Р. Уильямсом. Мы показываем, что в интегрируемом пределе геодезической системы на $\mathcal M^3_\Gamma$ эти узлы переходят в кабельные узлы трилистника. Библиография: 60 названий.
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.
hi@scite.ai
10624 S. Eastern Ave., Ste. A-614
Henderson, NV 89052, USA
Copyright © 2024 scite LLC. All rights reserved.
Made with 💙 for researchers
Part of the Research Solutions Family.