Bad Fields in Positive Characteristic

Abstract

If there are infinitely many p-Mersenne prime numbers, there is no bad field of positive characteristic p.

Quelques tentatives de définir une notion générale de groupes et de corps de dimension un et de déterminer leurs propriétés algébriques

“…On ne sait pas si la chose est vraie en caractéristique nulle! Ce théorème est apparu dans [16]; il serait resté anecdotique si [17] n'avait généralisé le premier paragraphe de cette sectionà tout corps de rang de Morley fini (dans un langage augmenté), ce qui a donné un nouveau départà la classification des groupes de rang de Morley fini (voir [4,14,18]).…”

Generic automorphisms and green fields

“…Poizat's green fields are infinite rank analogues of so-called bad fields, fields of finite Morley rank with a definable proper infinite subgroup of the multiplicative group. In positive characteristic, bad fields are very unlikely to exist, by a result of Wagner [Wa03]. Their absence would have simplified the study of groups of finite Morley rank, in particular that of infinite simple groups of finite Morley rank which according to Cherlin-Zilber's Algebraicity Conjecture should be algebraic groups.…”

Sur les collapses de corps différentiels colorés en caractéristique nulle décrits par Poizat à l'aide des amalgames à la Hrushovski

“…Rappelons au lecteur qu'un corps de rang fini est mauvais s'il admet un sous-groupe propre multiplicatif définissable divisible et que la non-existence de tels corps avaitété conjecturée originellement dans le programme de classification de groupes de rang de Morley fini. En caractéristique positive, l'existence d'un mauvais corps forceraità avoir une finitude de nombres premiers de Mersenne en p, c'està dire de la forme p n −1 p−1 [16]. Notons qu'un corps de rang de Morley fini en caractéristique nulle est additivement minimal.…”