Autowave processes

Abstract

В статье, по возможности популярно, изложены основные понятия теории автоволн, дан обзор литературы, посвященной некоторым математическим методам исследования автоволн. Статья дополняет ранее опубликованный обзор [3]. ВведениеАвтоволнами обычно называют волновые процессы, имеющие устойчивые ("самоподдерживающиеся") параметры -скорость, амплитуду, форму импульса. Способностью к многократному проведению автоволн обладают так называемые активные среды, для которых характерно наличие распределенных внешних источников энергии, то есть с термодинамической точки зрения это открытые системы далекие от равновесия. После прохождения автоволнового импульса такая среда должна восстановить свои свойства за счет поступающей извне энергии и подготовиться к проведению следующего импульса. Необходимое для этого восстановления время называется рефрактерным периодом. В течение рефрактерного периода среда не способна к проведению следующего импульса.Активные среды могут иметь любую размерность. В одномерном случае автоволна представляет собой распространяющийся с некоторой скоростью импульс определенной формы и амплитуды, тогда как в двумерном или трехмерном она характеризуется еще и формой своего фронта. Было обнаружено, что наличие рефрактерности делает возможным существование уже в двумерном случае особых режимов, вращающихся автоволн, развивающихся из волновых фронтов со свободным концом. В достаточно больших средах, эти режимы имеют вид вращающихся спиралей, в которых кончик спирали -обрыв волны возбуждения -вращается "вокруг самого себя". Различные авторы называют это явление спиральными волнами, ревербераторами, роторами или автоволновыми вихрями. Это явление -пример самоорганизации, поскольку существование и местоположение такого вихря в среде не связаны с какой-либо неоднородностью, а определяются только эволюцией системы. Автоволновые вихри демонстрируют удивительную стабильность своих свойств, они ведут себя "по их собственному усмотрению", и на их поведение могут существенно влиять только те события, которые происходят вблизи ядра.Автоволны возникают в самых различных средах физического, химического и биологического происхождения. Их примерами могут служить концентрационные волны в реакции Белоусова-Жаботинского [4], волны химической сигнализации в колониях некоторых микроорганизмов [5], волны в межзвездном газе, приводящие к образованию спиральных галактик [6]. Важный пример активных сред представляют многие биологические ткани. Так, автоволновую природу имеют распространение нервного импульса [7] и возбуждения в сердечной мышце [8]. Автоволны, таким образом, играют важную роль в функционировании живых систем. Изучение их свойств является ключом к пониманию многих явлений в нервной системе, работе мышц, морфогенезе, динамике экосистем и других вопросов биофизики. Нарушение режимов распространения автоволн ведет к серьезным нарушениям жизнедеятельности. Так в сердечной мышце возникновение спиральных волн приводит к некоторым

The Application of a Distributed Model of Active Media for the Analysis of Urban Ecosystems Development

“…It is known that self-organization manifests throw the formation of autowave dissipative structures [12,21]. According to our theory, the city is proposed to be considered as a UES, composed by anthropogenic and natural conjugate subsystems.…”

“…Frank-Kamenetsky [10,11] and allows to solve the problems of an autowave passing through unexcited parts of the active medium. Models of active media are most widely used to describe biological systems, such as models for neuron processes [12], blood coagulation dynamics [13][14][15], and the shape of the impulses observed in the myocardium [16]. Among the simpler models of active media, the cubic and piecewise linear FitzHugh-Nagumo equations [17][18][19][20] were the most widely used for the biological systems description.…”

“…In case 0 < α < 1 this equation has three ordered roots: u = 0, u = α(x, y), u = 1, moreover, the inequalities f u (0, x, y) > 0, f u (1, x, y) > 0 hold on. This is the condition under which system (2) models a bistable medium [12] in which autowaves of the moving front form occur [29].…”