Approximation for a large-angle simple pendulum period

Beléndez, Augusto; Rodes, J. J.; Beléndez, Tarsicio; Hernández-García, Armando

doi:10.1088/0143-0807/30/2/l03

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“…The nonlinear differential equation for a simple pendulum can be solved exactly and the period and periodic solution expressions involve the complete elliptic integral of the first kind and the Jacobi elliptic functions, respectively [2,4,5]. For this reason, several approximation schemes have been developed to investigate the situation for large amplitude oscillations of a simple pendulum, and several approximations for its largeangle period have been proposed (a summary of most of them can be found in [3,[6][7][8][9][10]) that differ in complexity and domains of validity: some are intuitive, others use ingenuous strategies, while yet others are based on relatively sophisticated procedures [11]. These approximate expressions for the period of a simple pendulum may be obtained in three ways, and in some cases the same results are reached.…”

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confidence: 99%

Approximate expressions for the period of a simple pendulum using a Taylor series expansion

Beléndez¹,

Garde²,

Márquez³

et al. 2011

Eur. J. Phys.

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An approximate scheme for obtaining the period of a simple pendulum for large amplitude oscillations is analysed and discussed. When students express the exact frequency or the period of a simple pendulum as a function of the oscillation amplitude, and they are told to expand this function in a Taylor series, they always do so using the oscillation amplitude as the variable, without considering that if they change the variable (in this paper to the new variable m), a different Taylor series expansion may be done which is in addition more accurate than previously published ones. Students tend to believe that there is one and only one way of performing a Taylor series expansion of a specific function. The approximate analytical formula for the period is obtained by means of a Taylor expansion of the exact frequency taking into account the KiddFogg formula for the period. This approach based on the Taylor expansion of the frequency about a suitable value converges quickly even for large amplitudes. We believe that this method may be very useful for teaching undergraduate courses on classical mechanics and helping students understand nonlinear oscillations of a simple pendulum.

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Approximate expressions for the period of a simple pendulum using a Taylor series expansion

Beléndez¹,

Garde²,

Márquez³

et al. 2011

Eur. J. Phys.

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“…The leaf functions make it possible to derive a differential equation consisting of the term d 2 θ/dt 2 , the term dθ/dt, the term θ, and the term θ 3 /6, as shown in Eq. (8). However, comparing the ODE obtained from the leaf function in Eq.…”

Section: Damped Pendulummentioning

confidence: 99%

Pendulum analysis by leaf functions and hyperbolic leaf functions

Shinohara

2019

ams

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The mathematical model representing the equation of motion of a pendulum is nonlinear. Solutions that satisfy the equation cannot be represented by elementary functions, such as trigonometric functions. To solve such problems, it is common to linearize the nonlinear equations and derive approximate numerical solutions and exact solutions. Applying such linearization is limited to cases in which the angle of the pendulum is relatively small. In cases where the angle of the pendulum is large, various methods have been presented that rely on numerical solutions and the exact solutions based on Jacobian elliptic functions, to name one example. On the other hand, the author has been studying a certain type differential equation. The second derivative of a function is equal to the term multiplied by −n(or n) for terms whose function is raised to 2n − 1. Curves based on solving this differential equation are constructed as regular waves with periods. The author has termed the function satisfying this differential equation the leaf function (or the hyperbolic leaf function). In this paper, we attempt to apply this leaf function (or hyperbolic leaf function) to undamped pendulums and overdamped pendulums for large angles.

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“…O leitor pode estar se perguntando por que usar a relação (25). A resposta é simples: pode-se justificar o uso da relação (25), notando que sin θ é mais linear no intervalo 0,…”

Section: Aproximação Linear De Kidd-fogg 2002unclassified

“…A resposta é simples: pode-se justificar o uso da relação (25), notando que sin θ é mais linear no intervalo 0,…”

Section: Aproximação Linear De Kidd-fogg 2002unclassified

“…As aproximações lienares, em geral são bem simples, e foram propostas por L. H. Cadwell & E. R. Boyco [15], W. P. Ganley [16], M. I. Molina [17], R. B. Kidd & S. L. Fogg [18,19], R. R. Parwani [20] e G. E. Hite [21]. Diversos outros tipos de aproximações foram porpostadas por outros autores, tais como, logarítmicas por F. M. S. Lima & P. Arun [22] e por Xue De-Sheng et al [23], analíticas por Beléndez et al [24][25][26] e M. Turkyilmazoglu [27], aritmética-geomémtrica por C. G. Carvalhaes & P. Suppes [28], assintótica por A. Cromer [29], combinação da logarítmica e da assintótica por F. M. S. Lima [30], expansão delta linear por P. Amore et al [31], além de outras.…”

Section: Introductionunclassified

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Uma revisão das aproximações lineares para grandes amplitudes de oscilações do período de um pêndulo simples

Lopes

Suave

Nogueira

2018

Rev. Bras. Ensino Fís.

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Embora a aproximação sin θ ≈ θ para determinação do período de um pêndulo simples seja muito bem conhecida e estudada desde o primeiro ano do ensino médio, ela tem bons resultados somente para pequenas amplitudes de oscilações. Já as aproximações para grandes amplitudes de oscilações são praticamente desconhecidas pela grande maioria dos professores e alunos do ensino médio e superior. Então, neste trabalho, nós fazemos uma revisão das principais sugestões de aproximações lineares para grandes amplitudes de oscilações para o cálculo do período de um pêndulo simples e uma comparação entre seus resultados. Palavras-chave: Pêndulo simples, aproximações lineares, grandes amplitudes.Although the sin θ ≈ θ approximation to calculate the period of a simple pendulum is well-known and studied from the first year of high school, it only has good results for small oscillation amplitudes. Now, the approximations for large oscillation amplitudes are almost completely unknown by the vast majority of theachers and students of high school and of undergraduate. Hence, in this work, we review the main approximation suggestions for large oscillation amplitudes to calculate the period of a simple pendulum and we make a comparison between their results, too. Keywords: simple pendulum, linear approximations, large amplitudes. IntroduçãoO estudo de um pêndulo simples é comumente abordado na totalidade dos livros textos de física do ensino mé-dio [1-3] e dos cursos de graduação [4][5][6]. O pêndulo simples também tem servido como paradigma no estudo de problemas lineares e não lineares [7][8][9][10]. Ainda, é muito comum o uso do pêndulo simples na literatura para exemplificar determindos assuntos que se está abordando (como meio para atingir um objetivo), como faz J. Clement [11] para demonstrar que os estudantes têm conceitos primitivos mal compreendidos, ou fazem R. N. Suave e J. A. Nogueira [12] para discutir os cuidados que se deve tomar em fazer aproximações e desprezar termos considerados de menor ordem. Embora, aparentemente simples, o estudo de um pêndulo simples pode ser um problema muito rico, como pode ser visto nas referências [13,14]. Pelo fato de ser um experimento de relativamente fácil execução, ele é muito usado para determinação do módulo da aceleração da gravidade g.O cálculo para obtenção do período exato do pêndulo simples é algo complexo (para alunos das disciplinas de física básica) e seu resultado não pode ser dado em termos de funções elementares. Por esse motivo, nos livros * Endereço atual: Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio) † Endereço de correspondência: jose.nogueira@ufes.br. textos do ensino médio, sem exceções, e das disciplinas básicas de física dos cursos de graduação, quase sem exceções, o período de um pêndulo simples é determindado apenas considerando-se pequenas amplitudes de oscilações, onde a aproximação linear senθ ≈ θ é empregada. Nessa aproximação, o pêndulo simples é muito usado para ilustrar o movimento harmônico simples (MHS). Contudo, a princípio, tal aproximação ...

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Approximation for a large-angle simple pendulum period

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Approximate expressions for the period of a simple pendulum using a Taylor series expansion

Approximate expressions for the period of a simple pendulum using a Taylor series expansion

Pendulum analysis by leaf functions and hyperbolic leaf functions

Uma revisão das aproximações lineares para grandes amplitudes de oscilações do período de um pêndulo simples

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