We construct the states of maximal localization taking into account a modification of the commutation relation between position and momentum operators to all orders of the minimum length parameter. To first-order, the algebra we use reproduces the one proposed by Kempf, Mangano and Mann. It is emphasized that a minimal length acts as a natural regulator for the theory, thus eliminating the otherwise ever appearing infinities. So, we use our results to calculate the first correction to the Casimir effect due to the minimal length. We also discuss some of the physical consequences of the existence of a minimal length, culminating in a proposal to reformulate the very concept of "position measurement."

In this work we explicitly solve the problem of the harmonic oscillator in the classical limit of a minimal-length scenario. We show that (i) the motion equation of the oscillator is not linear anymore because the presence of a minimal length introduces an anarmonic term and (ii) its motion is described by a Jacobi sine elliptic function. Therefore the motion is periodic with the same amplitude and with the new period depending on the minimal length. This result (the change in the period of oscillation) is very important since it enables us to find in a quite simple way the most relevant effect of the presence of a minimal length and consequently traces of the Planck-scale physics. We show applications of our results in spectroscopy and gravity.

Embora a aproximação sin θ ≈ θ para determinação do período de um pêndulo simples seja muito bem conhecida e estudada desde o primeiro ano do ensino médio, ela tem bons resultados somente para pequenas amplitudes de oscilações. Já as aproximações para grandes amplitudes de oscilações são praticamente desconhecidas pela grande maioria dos professores e alunos do ensino médio e superior. Então, neste trabalho, nós fazemos uma revisão das principais sugestões de aproximações lineares para grandes amplitudes de oscilações para o cálculo do período de um pêndulo simples e uma comparação entre seus resultados. Palavras-chave: Pêndulo simples, aproximações lineares, grandes amplitudes.Although the sin θ ≈ θ approximation to calculate the period of a simple pendulum is well-known and studied from the first year of high school, it only has good results for small oscillation amplitudes. Now, the approximations for large oscillation amplitudes are almost completely unknown by the vast majority of theachers and students of high school and of undergraduate. Hence, in this work, we review the main approximation suggestions for large oscillation amplitudes to calculate the period of a simple pendulum and we make a comparison between their results, too. Keywords: simple pendulum, linear approximations, large amplitudes. IntroduçãoO estudo de um pêndulo simples é comumente abordado na totalidade dos livros textos de física do ensino mé-dio [1-3] e dos cursos de graduação [4][5][6]. O pêndulo simples também tem servido como paradigma no estudo de problemas lineares e não lineares [7][8][9][10]. Ainda, é muito comum o uso do pêndulo simples na literatura para exemplificar determindos assuntos que se está abordando (como meio para atingir um objetivo), como faz J. Clement [11] para demonstrar que os estudantes têm conceitos primitivos mal compreendidos, ou fazem R. N. Suave e J. A. Nogueira [12] para discutir os cuidados que se deve tomar em fazer aproximações e desprezar termos considerados de menor ordem. Embora, aparentemente simples, o estudo de um pêndulo simples pode ser um problema muito rico, como pode ser visto nas referências [13,14]. Pelo fato de ser um experimento de relativamente fácil execução, ele é muito usado para determinação do módulo da aceleração da gravidade g.O cálculo para obtenção do período exato do pêndulo simples é algo complexo (para alunos das disciplinas de física básica) e seu resultado não pode ser dado em termos de funções elementares. Por esse motivo, nos livros * Endereço atual: Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio) † Endereço de correspondência: jose.nogueira@ufes.br. textos do ensino médio, sem exceções, e das disciplinas básicas de física dos cursos de graduação, quase sem exceções, o período de um pêndulo simples é determindado apenas considerando-se pequenas amplitudes de oscilações, onde a aproximação linear senθ ≈ θ é empregada. Nessa aproximação, o pêndulo simples é muito usado para ilustrar o movimento harmônico simples (MHS). Contudo, a princípio, tal aproximação ...

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A minimal-length scenario can be considered as an effective description of quantum gravity effects. In quantum mechanics the introduction of a minimal length can be accomplished through a generalization of Heisenberg's uncertainty principle. In this scenario, state eigenvectors of the position operator are no longer physical states and the representation in momentum space or a representation in a quasiposition space must be used. In this work, we solve the Schroedinger equation with a Dirac δ-function potential in quasiposition space. We calculate the bound state energy and the coefficients of reflection and transmission for the scattering states. We show that leading corrections are of order of the minimal length (O(√ β)) and the coefficients of reflection and transmission are no longer the same for the Dirac delta well and barrier as in ordinary quantum mechanics. Furthermore, assuming that the equivalence of the 1s state energy of the hydrogen atom and the bound state energy of the Dirac δ-function potential in the one-dimensional case is kept in a minimal-length scenario, we also find that the leading correction term for the ground state energy of the hydrogen atom is of the order of the minimal length and Δx min ≤ 10 −25 m.

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Neste trabalho nós mostramos como determinar o potencial efetivo para uma teoria com quebra espontânea de simetria.

Neste trabalho consideramos alguns aspectos físicos relacionados a séries divergentes e a séries condicionalmente convergentes.In this work we have discussed some physical aspects connected to divergent series and conditionally convergent series. IntroduçãoO estudo da convergência das séries infinitasé por si só um assunto interessante. Contudo, nas disciplinas de matemática, tais como cálculo, análise e em muitos casos até mesmo de física matemática dos cursos de Física, não existe uma associação com problemas físicos. Istoé, existe a falta de interpretações físicas ligadas a como somar os termos das séries e a soma de séries. Tais interpretações tornam-se mais interessantes ainda quando consideramos as séries condicionalmente convergentes.Este trabalho tem como objetivo discutir os significados físicos associadosàs séries infinitas eàs séries condicionalmente convergentes, istoé, a soma de séries divergentes e a possíveis formas de serem realizadas as somas das séries condicionalmente convergentes. Neste trabalho, não temos a intenção de esgotar ou elucidar completamente o assunto, que entendemos ser amplo e profundo. Nossa intençãoé despertar, sobretudo nos alunos, o interesse em se realizar uma reflexão sobre os significados e interpretações físicas ligadasàs séries infinitas e condicionalmente convergentes.O artigo está organizado como segue. Na seção 2 consideramos uma série divergente, mais especificamente uma função zeta de Riemann de 1. Tratamos da determinação do potencial elétrico de infinitas cargas elétricas pontuais. Devidoà posição destas cargas elétricas, o potencial elétrico será dado por uma série infinita. Na seção 3 consideramos as séries condicionalmente convergentes. Tratamos da determinação do potencial elétrico e da força elétrica exercida por infinitas cargas elétricas pontuais, as quais convenientemente colocadas, conduzem a uma série condicionalmente convergente. Por fim, na seção 4 consideramos a soma de duas séries divergentes. Mais uma vez, tratamos da determinação da força exercida por infinitas cargas elétricas. Séries infinitasSuponha que sobre o eixo-x são colocadas cargas elétricas pontuais positivas e idênticas, nas posições -1, -2, -3, ....