Actions infinitésimales dans la correspondance de Langlands locale p-adique

Abstract

RésuméLet V be a two-dimensional absolutely irreducible Qp-representation of Gal(Qp/Qp) and let Π(V ) be the GL2(Qp) Banach representation associated by Colmez's p-adic Langlands correspondence. We establish a link between the action of the Lie algebra of GL2(Qp) on the locally analytic vectors Π(V )an of Π(V ), the connection ∇ on the (ϕ, Γ)-module associated to V and the Sen polynomial of V . This answers a question of Harris, concerning the infinitesimal character of Π(V )an . Using this result, we give a new proof of a theorem of Colmez, stating that Π(V ) has nonzero locally algebraic vectors if and only if V is potentially semi-stable with distinct Hodge-Tate weights.

Représentations localement analytiques de 𝐺𝐿₂(𝐐_{𝐩}) et (𝜑,Γ)-modules

“…Notons ω le caractère χ −1 det Δ. Remarque 0.2. (i) L'unicité est relativement formelle (proposition 3.7) si End Δ = L : les méthodes de Dospinescu [14] permettent de montrer que, si α, β sont les poids de Hodge-Tate de Δ fournis par la théorie de Sen, alors le casimir agit par multiplication par 1 2 (α − β) 2 − 1 . Ceci impose l'action de l'algèbre enveloppante de l'algèbre de Lie de G, et donc aussi celle d'un voisinage ouvert assez petit de l'élément neutre.…”

“…[14] 6 ). ; on dit que M est de type analytique si M U est un D(K)-module pour tout ouvert compact U de P 1 et tout sous-groupe ouvert compact K de G stabilisant U (il suffit que ce soit le cas pour U = P 1 et pour un K car tous ces groupes sont commensurables), où D(K) désigne l'algèbre des distributions sur K.…”

Revĉtements du demi-plan de Drinfeld et correspondance de Langlands $p$-adique

“…Soit D(Γ) l'algèbre des distributions sur Γ = Gal(Q cyc p /Q p ) ≃ Z * p à valeurs dans L. Si V est une représentation de de Rham de G K := Gal(Q p /K), avec K une extension finie de Q p , on 17. Cela fait bon usage d'anneaux de Fontaine, de l'équation différentielle attachée par Berger [1] à une représentation de de Rham, ainsi que des résultats de [28] et [17, chap VI]. 18.…”

“…La propriété de r f découle du choix de p 1 . 31. Pour cet argument, l'énoncé plus faible 13.5 de l'appendice serait en fait suffisant.…”

“…L'élément C engendre le centre de U (sl 2 ). On identifie un élément f de R avec l'opérateur « multiplication par f » sur D rig (V ) dans l'énoncé suivant, qui est le résultat principal de [28].…”