A class of non-rational surface singularities with bijective Nash map

Abstract

Abstract. -Let (S, 0) be a germ of complex analytic normal surface. On its minimal resolution, we consider the reduced exceptional divisor E and its irreducible components E i , i ∈ I. The Nash map associates to each irreducible component C k of the space of arcs through 0 on S the unique component of E cut by the strict transform of the generic arc in C k . Nash proved its injectivity and asked if it was bijective. As a particular case of our main theorem, we prove that this is the case if E · E i < 0 for any i ∈ I.Résumé (Une classe de singularités non-rationnelles de surfaces ayant une application de Nash bijective) Soit (S, 0) un germe de surface analytique complexe normale. Nous considérons le diviseur exceptionnel réduit E et ses composantes irréductibles E i , i ∈ I sur sa réso-lution minimale. L'application de Nash associeà chaque composante irréductible C k de l'espace des arcs passant par 0 sur S, l'unique composante de E rencontrée par la transformée stricte de l'arc générique dans C k . Nash a prouvé son injectivité et a demandé si elleétait bijective. Nous prouvons que c'est le cas si E · E i < 0 pour tout i ∈ I comme cas particulier de notre théorème principal.

The Nash problem for surfaces

“…On the other hand, bijectivity of the Nash mapping has been shown for many classes of surfaces (see [6], [10], [8], [9], [12], [13], [17], [19], [20], [21], [22], [24], [25], [26]). The techniques leading to the proof of each of these cases are different in nature, and the proofs are often complicated.…”

Familles d'espaces de m -jets et d'espaces d'arcs

“…Étant donné explicitement une variété V et une désingularisation π, on remarque que déterminer si une composante irréductible de la fibre exceptionnelle de π est ou non un diviseur essentiel reste un problème difficile. L'approche de Nash est donc très De nombreux mathématiciens, qu'on ne peut pas tous citer ici, ont apporté de nouvelles contributions originales à l'étude du problème de Nash, surtout dans le cas de variétés de dimension 2 et 3 (voir par exemple [LJ80], [Reg95], [GSLJ97], [LJRL99], [IK03], [Ish05], [Ish06], [PPP06], [GP07], [Mor08], [Plé08], [PPP08], [Pet09], [LA11], [FdB12], [PS12], [dFD14]). …”

The Local Nash problem on arc families of singularities

“…Recently the author was announced that the affirmative answer is proved for a D n -singularity on a surface by Camille Plenat. Camille Plenat and Popescu-Pampu [15] proved the affirmative answer to certain non-rational singularities with combinatorial conditions. The Nash problem is affirmatively answered also for a toric variety of arbitrary dimension in [8].…”

“…In case of a 2-dimensional normal (therefore isolated) singularity, the problem is studied in [9], [15], [17]. The Nash problem for general dimension is studied in [7], [8].…”