Familles d'espaces de m -jets et d'espaces d'arcs

Abstract

MAXIMILIANO LEYTON-ÁLVAREZRésumé. Soit V une variété algébrique définie sur un corps K algébriquement clos et de caractéristique nulle. Comme les espaces de m-jets Vm et l'espace d'arcs V∞ fournissent des informations sur la géométrie de la variété V , il est donc naturel de se poser les questions suivantes : Quand est-ce qu'une déformation de V induit une déformation des espaces Vm, 1 ≤ m ≤ ∞ ? Si l'on considère une déformation de V qui admet une résolution simultanée à plat, comment variera l'image de l'application de Nash NV ? Dans la section 3, on donne quelques réponses partielles à ces questions.Dans la section 4, on montre deux familles d'hypersufaces de A 4 K où l'application de Nash est bijective. De plus, dans chaque cas, on donne explicitement une désingularization où toutes les composantes irréductibles de la fibre exceptionnelle sont des diviseurs essentiels. Il faut remarquer que dans la littérature on ne trouve pas beaucoup d'exemples de ce type.ABSTRACT. Families of m-jet spaces and arc spaces.Let V be an algebraic variety defined over an algebraically closed field K of characteristic zero. The m-jet spaces Vm and the space of arcs V∞ provide the information on the geometry of the variety V , therefore it is natural to ask the following questions: When will a deformation of V induce a deformation of the spaces Vm, 1 ≤ m ≤ ∞? If one considers a deformation of V which admits a flat simultaneous resolution, how will the image of the Nash application NV vary? In section 3 some partial answers to these questions can be found.In section 4 two families of hypersurfaces of A 4 K are shown in which the Nash application is bijective. What's more, in each case a desingularization in which all the irreducible components of the exceptional fiber are essential divisors is explicitly given. It is important to note that very few examples of this type are found in the literature. IntroductionSoit V une variété algébrique sur un corps K algébriquement clos ou une variété analytique complexe (K := C). Dans la fin des années 60, John Nash a introduit l'espace d'arcs V ∞ dans le but d'obtenir des informations sur la géométrie locale du lieu singulier Sing V de V (voir [Nas95]). L'espace d'arcs V ∞ peut être interprété comme l'ensemble de tous les arcs Spec K[[t]] → V , muni d'une structure "naturelle" de schéma sur K. Une composante de Nash associée à V est une famille d'arcs sur V passant par le lieu singulier de V . Un diviseur essentiel E sur V est grosso modo un diviseur exceptionnel dans une désingularisation de V qui apparaît comme une composante irréductible de la fibre exceptionnelle de toute désin-gularisation possible de V . Nash a défini une application de l'ensemble des composantes de Nash associées à V dans l'ensemble des diviseurs essentiels sur V et il a démontré qu'elle est injective ; cette application est connue sous le nom d'application de Nash, notée N V . Nash pose donc la question suivante : Est-ce que la application N V est bijective ? (pour plus de détails voir la section 2.2). Étant donné exp...

Terminal valuations and the Nash problem

“…Since, in dimension two, terminal valuations and essential valuations are clearly the same (both are the valuations defined by the exceptional divisors on the minimal resolution), we obtain a new, purely algebro-geometric proof of the main theorem of [21].…”

“…We were led to consider minimal models (and define, accordingly, terminal valuations) as a result of our attempt to understand, from an algebro-geometric standpoint, some of the topological computations carried out in [21]. The idea of looking at divisors on minimal models in connection to the Nash problem was also suggested by Fernández de Bobadilla.…”

“…At this point, the approach in [21] is roughly the following. Reducing to work over C, and using a suitable approximation theorem, one can assume that is locally given by power series with positive radius of convergence, and thus assume without loss of generality that S ⊂ C 2 is the product of two open disks of radius 1 [20].…”

“…The Nash problem was successfully settled in dimension two in [21] using topological arguments (we refer to their paper for a comprehensive list of references on previous results). In higher dimensions, the characterization of Nash valuations as essential valuations is known to hold for toric singularities and in some other special cases [2,4,13,[17][18][19]25].…”

Deforming spaces of m-jets of hypersurfaces singularities

“…It is important to mention that many mathematicians worked hard on this problem, making valuable progress with respect to the problem. For example: [4], [9], [12], [14], [16], [17], [18], [23], [24], [26], [27], [30], [36], [37], [38], [39], [40], [41] etc. Unfortunately it is not possible to comment on and cite all the existing works.…”