The Local Nash problem on arc families of singularities

Ishii, Shihoko

doi:10.5802/aif.2210

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“…This gives α ′ (0) ∈ E for some exceptional divisor E ⊂ Y . Taking α to correspond to the generic point of C j (see [IK03,Thm.2.15]), the divisor will be essential, so one can define Nash map for X, N X , from the set of good components into the set of essential divisors.…”

Section: The Next Results Is Well Known ([Ik03])mentioning

confidence: 99%

“…A resolution of singularities of X is a proper birational morphism f : Y → X such that Y is nonsingular and f is an isomorphism on Y \ f −1 (Sing(X)). The largest part of this section is based on [IK03] and [Ish04], which could be consulted for more motivation and details.…”

Section: Nash Problemmentioning

confidence: 99%

“…In the same paper [Nas95] Nash conjectured that this map is always bijective. Ishii and Kollár proved in [IK03] that this is true for toric varieties, but fails in general, giving a counterexample in dimension 4, with one good component but two essential divisors. It was suggested that it would be useful to know the classes of algebraic varieties for which Nash conjecture holds (this is called Nash problem).…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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Nash problem for stable toric varieties

Petrov

2009

Mathematische Nachrichten

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Section: The Next Results Is Well Known ([Ik03])mentioning

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Section: Nash Problemmentioning

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Section: Introductionmentioning

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Nash problem for stable toric varieties

Petrov

2009

Mathematische Nachrichten

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“…Étant donné explicitement une variété V et une désingularisation π, on remarque que déterminer si une composante irréductible de la fibre exceptionnelle de π est ou non un diviseur essentiel reste un problème difficile. L'approche de Nash est donc très De nombreux mathématiciens, qu'on ne peut pas tous citer ici, ont apporté de nouvelles contributions originales à l'étude du problème de Nash, surtout dans le cas de variétés de dimension 2 et 3 (voir par exemple [LJ80], [Reg95], [GSLJ97], [LJRL99], [IK03], [Ish05], [Ish06], [PPP06], [GP07], [Mor08], [Plé08], [PPP08], [Pet09], [LA11], [FdB12], [PS12], [dFD14]). …”

Section: Introductionunclassified

“…Dans l'article [IK03] de l'année 2003, les auteurs ont découvert le premier exemple d'une variété V telle que l'application de Nash N V n'est pas bijective ; cette variété est une hypersurface de A 5 K ayant une unique singularité isolée. Les exemples de variétés de dimension trois où l'application de Nash n'est pas bijective ont apparu au cours de l'année 2012, (voir les articles [dF13] et [Kol12]) ; ces exemples sont des hypersurfaces de A 4 K ayant une unique singularité isolée.…”

Section: Introductionunclassified

Familles d'espaces de m -jets et d'espaces d'arcs

Leyton-Álvarez

2016

Journal of Pure and Applied Algebra

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MAXIMILIANO LEYTON-ÁLVAREZRésumé. Soit V une variété algébrique définie sur un corps K algébriquement clos et de caractéristique nulle. Comme les espaces de m-jets Vm et l'espace d'arcs V∞ fournissent des informations sur la géométrie de la variété V , il est donc naturel de se poser les questions suivantes : Quand est-ce qu'une déformation de V induit une déformation des espaces Vm, 1 ≤ m ≤ ∞ ? Si l'on considère une déformation de V qui admet une résolution simultanée à plat, comment variera l'image de l'application de Nash NV ? Dans la section 3, on donne quelques réponses partielles à ces questions.Dans la section 4, on montre deux familles d'hypersufaces de A 4 K où l'application de Nash est bijective. De plus, dans chaque cas, on donne explicitement une désingularization où toutes les composantes irréductibles de la fibre exceptionnelle sont des diviseurs essentiels. Il faut remarquer que dans la littérature on ne trouve pas beaucoup d'exemples de ce type.ABSTRACT. Families of m-jet spaces and arc spaces.Let V be an algebraic variety defined over an algebraically closed field K of characteristic zero. The m-jet spaces Vm and the space of arcs V∞ provide the information on the geometry of the variety V , therefore it is natural to ask the following questions: When will a deformation of V induce a deformation of the spaces Vm, 1 ≤ m ≤ ∞? If one considers a deformation of V which admits a flat simultaneous resolution, how will the image of the Nash application NV vary? In section 3 some partial answers to these questions can be found.In section 4 two families of hypersurfaces of A 4 K are shown in which the Nash application is bijective. What's more, in each case a desingularization in which all the irreducible components of the exceptional fiber are essential divisors is explicitly given. It is important to note that very few examples of this type are found in the literature. IntroductionSoit V une variété algébrique sur un corps K algébriquement clos ou une variété analytique complexe (K := C). Dans la fin des années 60, John Nash a introduit l'espace d'arcs V ∞ dans le but d'obtenir des informations sur la géométrie locale du lieu singulier Sing V de V (voir [Nas95]). L'espace d'arcs V ∞ peut être interprété comme l'ensemble de tous les arcs Spec K[[t]] → V , muni d'une structure "naturelle" de schéma sur K. Une composante de Nash associée à V est une famille d'arcs sur V passant par le lieu singulier de V . Un diviseur essentiel E sur V est grosso modo un diviseur exceptionnel dans une désingularisation de V qui apparaît comme une composante irréductible de la fibre exceptionnelle de toute désin-gularisation possible de V . Nash a défini une application de l'ensemble des composantes de Nash associées à V dans l'ensemble des diviseurs essentiels sur V et il a démontré qu'elle est injective ; cette application est connue sous le nom d'application de Nash, notée N V . Nash pose donc la question suivante : Est-ce que la application N V est bijective ? (pour plus de détails voir la section 2.2). Étant donné exp...

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Singularities, the Space of Arcs and Applications to Birational Geometry

Ishii

2023

Handbook of Geometry and Topology of Singularities IV

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The Local Nash problem on arc families of singularities

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Nash problem for stable toric varieties

Nash problem for stable toric varieties

Familles d'espaces de m -jets et d'espaces d'arcs

Singularities, the Space of Arcs and Applications to Birational Geometry

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