Exact solution for the nonlinear pendulum

Beléndez, Augusto; Pascual, Carolina; Méndez, David I.; Beléndez, Tarsicio; Neipp, Cristian

doi:10.1590/s1806-11172007000400024

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“…Para ello consideramos dos casos en el que para un desplazamiento angular inicial de , la velocidad angular inicial es cero y . Los resultados obtenidos coinciden con los reportados por Beléndez et al (2007), se observa un movimiento anarmónico a medida que aumenta el tiempo haciéndose más notorio cuando la velocidad angular toma el valor de .…”

Section: Resultsunclassified

“…Los resultados obtenidos coinciden con los reportados por Beléndez et al (2007), el movimiento anarmónico del sistema disminuye en comparación con los resultados reportados en la figura 4. Existe una clara dependencia de la dinámica del sistema con las condiciones iniciales que se imponen sobre el sistema (Schmidt, 2009).…”

Section: Resultsunclassified

“…En particular, si la velocidad angular es nula, , entonces , por lo tanto, de la ecuación (30) se reproduce la fórmula conocida para el péndulo no lineal (Beléndez et al, 2007) (31) Sin embargo, , la integral elíp-tica de primera clase (Arfken, 2001). La ecuación (31) se reescribe:…”

Section: Resultsunclassified

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Un estudio de la dinámica del péndulo no lineal- A study of the dynamics of the nonlinear pendulum

Chaves

Penagos

2016

Rev. Cient.

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En este trabajo estudiamos la dinámica del péndulo no lineal, el cual consta de una partícula de masa m unida al extremo de una cuerda inextensible de longitud l. Graficamos tanto la variación de la energía potencial del péndulo en función del ángulo, como su correspondiente diagrama de fase. Las condiciones que se imponen determinan el comportamiento del péndulo para que exista un movimiento de oscilación y rotación, dependientes con el valor de la energía y el máximo de energía potencial. Como un caso particular estudiamos el movimiento oscilatorio, para ello resolvemos analíticamente de la ecuación diferencial de segundo orden, tomando como referencia el trabajo de Beléndez, generalizamos los resultados cuando el sistema inicialmente presenta una velocidad angular diferente de cero. Las soluciones obtenidas para el desplazamiento angular en función del tiempo se encuentra en términos de las funciones elípticas de Jacobi sn(u, m), graficamos el desplazamiento angular cuando la velocidad angular inicial es igual y diferente de cero . Los resultados obtenidos coinciden con los reportados en Beléndez. Este problema puede ser utilizado para introducir conceptos de integrales elípticas y motivar así al estudiante el uso de software computacional para analizar las soluciones obtenidas.A Study of the Dynamics of Nonlinear PendulumWe study the dynamics of nonlinear pendulum, which consists of a particle of mass m attached to the end of a light inextensible string of length l. Therefore we plot the variation of pendulum potential energy function of angle , as the corresponding phase diagram. The conditions imposed determine the behavior of the pendulum so that there is an oscillating movement and rotation, dependent on the value the maximum energy and potential energy is determined. As a case study the oscillator movement, analytically solve the differential equation of second order with reference Beléndez et al. paper, we get results when the system initially presents a nonzero angular velocity, The solutions obtained for the angular displacement versus time is in terms of the Jacobi elliptic functions sn (u, m ), we plot the angular displacement when the initial angular velocity is equal and non-zero . The results agree with those reported in Beléndez et al. The problem can be used to introduce concepts of elliptic integrals and motivate students to using computer software to analyze the solutions obtained.Um Estudo da Dinâmica Não-Linear PendulumNeste trabalho estudamos a dinâmica do pêndulo não-linear, que consiste de uma partícula de massa m ligado à extremidade de uma corda não extensível de comprimento l. Portanto, traçar a variação da energia potencial do pêndulo de acordo com o ângulo θ, como seu correspondente diagrama de fases. Com estas condições de ser aplicada sobre o comportamento do pêndulo de modo que há um movimento de oscilação e de rotação na dependência do valor de energia e a energia potencial máxima é determinada. Como estudo de caso especial o movimento oscilatório, pois analiticamente resolver a equação diferencial de segunda ordem com referência Beléndez et al. trabalho, generalizar os resultados quando o sistema apresenta inicialmente uma velocidade angular diferente zero, . As soluções obtidas para o deslocamento angular em função do tempo é, em termos de funções elípticas de Jacobi sn (u, m), marcamos o deslocamento angular quando a velocidade angular inicial é igual e diferente de zero. Os resultados concordam com os relatados em Beléndez et al. Este problema pode ser utilizada para introduzir conceitos de integrais elípticas e, assim, motivar os alunos usando software de computador para analisar as soluções obtidas

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Section: Resultsunclassified

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Un estudio de la dinámica del péndulo no lineal- A study of the dynamics of the nonlinear pendulum

Chaves

Penagos

2016

Rev. Cient.

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“…The pendulum equation (cf. (1) apparently simple -is not easy to solve and was investigated in several publications [7,13,14,15]. The deviations due to the linearisation were quantised with regard to the peak excitation angle ϑ s of the pendulum.…”

Section: Deviations Due To Linearisationmentioning

confidence: 99%

Comparison of Two Experiments Based on a Physical and a Torsion Pendulum to Determine the Mass Moment of Inertia Including Measurement Uncertainties

Klaus

2017

Measurement Science Review

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To determine the mass-moment-of-inertia properties of devices under test with particularly small mass moments of inertia (some 10 −4 kg m 2 ), two measurement set-ups based on different measurement principles were developed. One set-up is based on a physical pendulum, the second set-up incorporates a torsion pendulum. Both measurement set-ups and their measurement principles are described in detail, including the chosen data acquisition and analysis. Measurement uncertainty estimations according to the Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM) were carried out for both set-ups by applying Monte Carlo simulations. Both set-ups were compared using the same three devices under test. For each measurement result, the measurement uncertainties were estimated. The measurement results are compared in terms of consistency and the resulting measurement uncertainties. For the given devices under test, the torsion pendulum set-up gave results with smaller measurement uncertainties compared to the set-up incorporating a physical pendulum.

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“…Material em língua portuguesa que trate fenômenos não-lineares e sólitons pode ser encontrado, como em [25][26][27][28][29], mas não em volume compatível com sua importância e ocorrendo predominantemente na forma de dissertações e teses,por exemplo [30][31][32][33]. Não obstante, vale destacar que a comunidade científica brasileira tem sido bastante ativa nestaárea, inserindo-a em universo bastante abrangente que inclui desde a física de plasmas [34], mecânica estatística, [35][36][37][38][39] e.g., equações diferenciais [40][41][42][43], física matemática [44][45][46][47], altas energias [48,49], etc. Logo, em meio a tantas ocorrências, reforçamos a ideia de que os sistemas não-lineares correspondem a umaárea importante e ativa, merecendo atenção por parte dos estudantes.…”

Section: Conclusões E Perspectivasunclassified

Sobre a conexão entre alguns modelos físicos não-lineares

Andrade

Anjos

Assis

2016

Rev. Bras. Ensino Fís.

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Neste trabalho revisamos alguns dos sistemas não-lineares mais paradigmáticos e desvendamos algumas das suas surpreendentes interligações. Os problemas de interesse, descrito matematicamente pelas equações de sine-Gordon, Toda e KdV, generalizam modelos físicos conhecidos, como o pêndulo simples, o sistema massa-mola e as ondas lineares emágua, respectivamente. Depois de discutirmos as peculiaridades decorrentes da presença de não-linearidades nos modelos, esclarecemos como os sistemas apresentados são relacionados uns aos outros, indicando a existência de uma família de equações que compartilham propriedades como a integrabilidade. Nós mostramos como a equação de KdV pode ser convenientemente discretizada a fim de preservar tais características importantes. Além de apresentarmos as ligações estreitas que esta equação tem com a cadeia de Toda e com a equação sine-Gordon, nós também investigamos outros procedimentos capazes de gerar um sistema integrável discreto a partir do modelo KdV com a discretização de Hirota. Palavras-chave: KdV, Sine-Gordon, Cadeia de Toda.In this report we review some of the most paradigmatic nonlinear systems and unveil some of their suprising interconnections. The problems of interest, described mathematically by the equations of sine-Gordon, Toda and KdV, generalize well known physical models, the simple pendulum, the mass on a spring and the linear waves, respectively. After discussing the differences arising from the presence of nonlinearities in the models, we clarify how the systems presented are related to each other, indicating existence of a family of equations sharing integrability properties. We show how the KdV equation can be conveniently discretized in order to preserve important properties. Besides presenting the close connections this equation has with respect to the Toda lattice and the sine-Gordon equation, we also investigate other procedures capable of generating a discrete integrable system from the KdV model, as the Hirota discretization. Keywords: KdV, Sine-Gordon, Toda Lattice. IntroduçãoA maior parte dos fenômenos que ocorrem na natureza envolvem efeitos não-lineares. No entanto, os cursos de graduação tendem a focar nos aspectos lineares destes fenômenos. Dessa forma, em nossa formação, somos levados a pensar que os sistemas não-lineares são tão complicados que nunca podem ser tratados de forma analítica. Assim, pode parecer que o profissional daárea deve resignar-se, apenas, a simulações numéricas, como ocorre com a previsão do tempo, por exemplo. * Endereço de correspondência: paulo.assis@ufg.br.Diante de tal cenário, neste trabalho trazemos uma introdução a alguns problemas não-lineares que podem ser tratados exatamente, com obtenção de soluções analíticas, e que, embora possam parecerà primeira vista completamente independentes, estão relacionados entre si de uma maneira profunda por meio de simetrias. Sabe-se que a presença de simetrias num problema está associadaà existência de leis de conservação [1,2], que podem permitir ou facilitar a solução do proble...

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Exact solution for the nonlinear pendulum

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Un estudio de la dinámica del péndulo no lineal- A study of the dynamics of the nonlinear pendulum

Un estudio de la dinámica del péndulo no lineal- A study of the dynamics of the nonlinear pendulum

Comparison of Two Experiments Based on a Physical and a Torsion Pendulum to Determine the Mass Moment of Inertia Including Measurement Uncertainties

Sobre a conexão entre alguns modelos físicos não-lineares

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