Developing Flexibility in Mental Calculation

Abstract

Flexibility in performing mental calculations has become an important focus for mathematics educators, with research surging over the past two decades. Contemporary research results lends strong support for the development of mental flexibility in elementary classrooms. This report focuses on three interrelated themes: (1) a model of mental calculation that allows the study of flexible solution processes; (2) a review of definitions of flexibility and summary of reported research; and (3) an examination of the prerequisites for promoting mental flexibility. The approach termed Zahlenblickschulung is introduced with examples of activities that encourage students to sort numerical problems and reason about the sorting.

Different Profile of Cognitive Flexibility in Brazilian Students of 2nd and 4th Years of Ensino Fundamental

“…Estes alunos apresentaram um repertório rico e interconectado de conhecimentos numéricos, base para o cálculo mental (Serrazina & Rodrigues, 2021), dentre os quais destaca-se a relação parte todo, relação dobro / metade, associatividade, distributividade, completar a dezena, valor posicional, relação inversa entre adição e subtração e fatos básicos. Diferentes meios de solução partiram de um destes conhecimentos ou da articulação entre mais de um deles, o que indica a f lexibilidade do raciocínio matemático destes estudantes (Heirdsfield & Cooper, 2004;Korten, 2020;Rathgeb-Schnierer & Green, 2019). Outro destaque importante do perfil flexível foi a capacidade metacognitiva de monitoramento na realização dos cálculos, verificada na postura de muitos estudantes de procurar alternativas de solução que verificassem os resultados alcançados e, inclusive, a aplicação de procedimentos padronizados para a verificação da solução correta para o cálculo.…”

“…Em relação à definição, o cálculo mental é diferente da aritmética feita "de cabeça", pois conforme argumenta Thompson (1999), esta pode envolver apenas a recordação de fatos básicos ou a execução mental de um cálculo algorítmico, enquanto o cálculo mental exige a utilização de estratégias mentais, definidas como "(...) a aplicação de fatos numéricos conhecidos ou calculados rapidamente, em combinação com propriedades específicas do sistema numérico, para encontrar a solução de um cálculo cuja resposta não é conhecida" (Thompson, 1999, p. 2, tradução nossa). Além desta diferenciação proposta por Thompson (1999), as estratégias de cálculo mental também diferem dos algoritmos escritos porque exigem mais do que a aplicação de um procedimento passo a passo, requerendo a aplicação de um conhecimento mais profundo de como os números funcionam (Carvalho & Rodrigues, 2021;Rathgeb-Schnierer & Green, 2019).…”

“…Estes meios estratégicos, ou ações mentais, são definidos como elementos cognitivos por Rathgeb-Schnierer e Green (2013,2015,2017,2019), que estabelecem duas alternativas a serem utilizadas pelos alunos ao resolverem um cálculo mental: características numéricas percebidas nos cálculos e procedimentos de solução. A partir da análise dos elementos utilizados pelos estudantes no cálculo, é possível estabelecer as características individuais do perfil de raciocínio f lexível, as quais podem dar pistas sobre dificuldades e preditores da competência matemática (Heize et al, 2020;McMullen et al, 2017;Rathgeb-Schnierer & Green, 2019).…”

“…Além desta lacuna de estudos em amostras latino-americanas, as pesquisas dão pouco suporte sobre quais habilidades numéricas e matemáticas integram cada tipo de raciocínio. Identificar os perfis de raciocínio e suas diferenças individuais parece ser uma importante ferramenta para identificar estudantes em risco de desenvolver dificuldades de aprendizagem (Aunio, 2019;McMullen et al, 2016;Rathgeb-Schnierer & Green, 2019). Pesquisas têm destacado a importância desta habilidade no ensino da matemática, apontando evidências de que a flexibilidade em aritmética é um bom preditor do desempenho matemático posterior como, por exemplo, a álgebra (McMullen et al, 2017).…”

“…Neste sentido, argumenta-se, com base na perspectiva de Serrazina e Rodrigues (2021), que a flexibilidade cognitiva pode ser um indicador de senso numérico, posto que o ensino experienciado pelos alunos da pesquisa enfatizava habilidades procedimentais em detrimento do conhecimento numérico. Embora o desenvolvimento do senso numérico não seja um objetivo evidente no Ensino Fundamental no Brasil, a prática com os números estabelece relações e padrões numéricos que constituem os fatos básicos e propiciam a base para o cálculo flexível (Korten, 2020;Rathgeb-Schnierer & Green, 2019;Rechtsteiner-Merz & Rathgeb-Schnierer, 2015) e para o senso numérico (Serrazina & Rodrigues, 2021). Observou-se também que todos os recursos do raciocínio por características do problema foram usados pelos dois anos escolares, com menores proporções no 2º ano e maiores no 4º ano, ou seja, de modo geral, estes recursos cognitivos, ou ações mentais, já estavam disponíveis para as crianças mais novas e o seu uso foi ampliado pelas crianças mais velhas (Caviola et al, 2018;McMullen et al, 2016).…”