Для неавтономной лагранжевой системы вводятся динамически выпуклые области по отношению к лагранжиану.
Установлена разрешимость краевой задачи в компактных динамически выпуклых областях. Если лагранжиан периодичен по времени, то в такой области существует периодическая траектория. Доказательства используют принцип Гамильтона и известные приемы вариационного исчисления в целом. Результаты общего характера применяются к задаче Уитни о существовании движений перевернутого маятника без падений.
Библиография: 7 наименований.
Рассматривается задача о полиномиальных по импульсу первых интегралах гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при фиксированном значении полной энергии (условные по Биркгофу интегралы). Предполагается, что потенциал имеет несколько сингулярных точек. Показано, что при наличии условных полиномиальных интегралов сумма степеней сингулярностей не превосходит удвоенную эйлерову характеристику конфигурационного пространства. Доказательство основано на введении комплексной структуры на конфигурационном пространстве и оценке степени дивизора, отвечающего старшей по импульсу степени в интеграле. При некоторых условиях доказана также положительность топологической энтропии.
Библиография: 29 наименований.
Антиинтегрируемый пре дел является одним из удобных и относительно простых методов построения хаотических гиперболических инвариантных множеств в лагранжевых, гамильтоновых и других динамических системах. В настоящей статье рассматривается наиболее естественный контекст метода-дискретные лагранжевы системы. Затем приводятся примеры и приложения. Библиография: 75 названий. Ключевые слова: лагранжевы системы, гамильтоновы системы, хаос, гиперболические множества, топологическая марковская цепь, топологическая энтропия.
Рассматриваются натуральные гамильтоновы системы с двумя степенями свободы и гамильтонианом $H=\|p\|^2/2+V(q)$. Конфигурационное пространство $M$ - замкнутая поверхность (для некомпактного $M$ требуются некоторые условия на бесконечности). Хорошо известно, что если потенциальная энергия $V$ имеет $n>2\chi(M)$ особых точек ньютонова типа, то система не интегрируема и имеет положительную топологическую энтропию на уровне энергии $H=h>\sup V$. В настоящей работе это утверждение обобщается на случай, когда $V$ имеет несколько особых точек $a_j$ типа $V(q)\sim {-}\operatorname{dist}(q,a_j)^{-\alpha_j}$. Положим $A_k=2-2/k$, $k\in\mathbb{N}$, и пусть $n_k$ - число особых точек таких, что $A_k\leqslant \alpha_j<A_{k+1}$. В работе доказано, что если
$$
\sum_{2\leqslant k\leqslant\infty}n_kA_k>2\chi(M),
$$
то система имеет компактное хаотическое инвариантное множество траекторий без столкновений на любом уровне энергии $H=h>\sup V$. Это утверждение чисто топологическое: оно не использует никаких аналитических свойств потенциальной энергии, кроме наличия особых точек. Доказательства основаны на обобщенной регуляризации Леви-Чивиты и элементарной топологии накрытий. В качестве примера рассмотрена плоская задача $n$ центров.
Библиография: 29 названий.
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.