Изучена возможность построения полнопараметрического аналитического решения задачи о напряженно--деформированном состоянии тела, вызванном воздействием объемных сил. В общем случае Чезаро перемещения в каждой точке тела определяются через объемные силы интегральным выражением с сингулярным ядром. Поэтому при произвольной форме тела его упругое состояние можно построить только численно. Строгое аналитическое решение выписывается в классическом варианте, соответствующем силам потенциального характера. Эти силы являются традиционными объектами механики, но их перечень весьма ограничен. Современный уровень развития науки и техники в мире требует применения сил произвольного характера, которые могут порождаться как на уровне молекулярного взаимодействия, так и взаимодействием электромагнитных полей внутри тела. Они заведомо консервативными не являются. Кроме этого, применение методов возмущений при решении нелинейных задач эластостатики и задач термоупругости создает на каждой итерации асимптотического приближения искусственно порожденные объемные силы полиномиального характера либо силы, достаточно точно аппроксимируемые многочленами. Возможность выписывания строгих или высокоточных частных решений в ходе выполнения итерации оказывает неоценимую услугу расчетчику. Для весьма широкого круга сил, приближаемых полиномами от пространственных координат или, еще у́же, для полиномиальных сил сформирован новый метод построения строгого решения задачи о соответствующем упругом состоянии тела, опирающийся на изоморфизм гильбертовых пространств сил такого рода и им соответствующих упругих состояний (наборов перемещений, деформаций, напряжений). Доказана теорема о существовании изоморфных счетных базисов этих пространств, построены алгоритмы их наполнения. Частное решение задачи об упругом поле от полиномиальных сил строится разложением заданной нагрузки по ортонормированному базису и выписывается достаточно просто в конечном виде, причем в аналитической форме. Поправка от частного решения вносится в граничные условия однородной задачи упругости для тела, после чего строится решение. Его аналитический характер могут обеспечить вычислительные подходы, ориентирующиеся на компьютерные алгебры. Удобным вариантом такого подхода является метод граничных состояний (МГС), имеющий ряд преимуществ перед широко используемыми численными (конечных элементов, граничных элементов, конечных разностей и др.), и один существенный недостаток: вычислительный комплекс МГС не получил конечного завершения. Коротко изложены достоинства МГС и дано его лаконичное описание. Использование подхода МГС принципиально позволяет выписывать полнопараметрическую форму решений для тел произвольной геометрической формы. МГС применен для построения решения задачи о линейно-упругом сплюснутом сфероиде, нагруженном самоуравновешенной системой объемных сил. Решение строилось для двух вариантов нагружения, а именно потенциальными либо непотенциальными силами. Аналитический вариант решения приведен только для поля перемещений (остальные характеристики упругого состояния легко выписываются через определяющие соотношения). Определенный интерес представляет графическая иллюстрация полей напряжений, выполненная при фиксированных значениях параметров.

No abstract

Использование аналитических решений для анализа состояния тел при исследовательских и инженерных расчетах обеспечивает вычислительное ресурсосбережение. Цель работы - обеспечение методологии построения полнопараметрических решений задач математической физики, в том числе основной смешанной задачи эластостатики. Средством является относительно новый энергетический метод граничных состояний, опирающийся на компьютерные алгебры, который исходит из понятия состояния среды, изоморфизма гильбертовых пространств внутренних и граничных состояний тела и является самодостаточным в том смысле, что принципиально не требует сопоставления решения тестовых задач с таковыми, построенными иными методами. Для включения в решение в явном виде констант среды в работе рекомендуется экономящий вычислительные ресурсы метод граничных состояний с возмущениями, в котором прямой метод «обвязывается» подходом А. Пуанкаре. Для явного включения в решение параметров граничных условий предложена технология эталонных решений. Ее эффективность продемонстрирована на конкретном примере основной смешанной задачи эластостатики. В качестве объекта исследования назначено односвязное ограниченное тело, граница которого разбита на три участка. На каждом участке удерживается индивидуальный способ параметризации точек границы: полярная, цилиндрическая, сферическая системы координат. Расчеты выполняются с применением компьютерной алгебры вычислительной системы {\tt Mathematica}. Продемонстрирована эффективность разработанной методологии для достижения поставленной цели. Описана последовательность шагов метода, ведущая к гарантированному достижению цели. Выполнено решение конкретной задачи. Результаты представлены в явной аналитической форме, содержащей все параметры краевой задачи теории упругости, и проиллюстрированы графически после расчета по аналитическому решению при конкретном наборе значений параметров.