Развит прямой метод - метод матриц Коши - для построения матричных решений некоммутативных солитонных уравнений. Метод основан на уравнении Сильвестра, при этом решения представлены без использования квазидетерминантов. В качестве примера, демонстрирующего метод, используется матричное уравнение Кадомцева-Петвиашвили с самосогласованными источниками. С помощью редукции получены явные решения матричной модели Мельникова для длинно-коротковолнового взаимодействия.
Получены преобразования Дарбу и связанные с ними формулы Крама для двух разностных уравнений типа уравнения Шредингера, которые сами являются дискретными версиями спектральных задач для уравнений КдФ и модифицированных уравнений КдФ. Если рассматривать преобразования Дарбу как процесс дискретизации, то возникают классы полудискретных и полностью дискретных систем уравнений типа КдФ, включая решеточные версии потенцированного уравнения КдФ, потенцированного модифицированного уравнения КдФ и уравнения КдФ с шварцианом, как условия совместности дифференциальных/разностных спектральных задач и их преобразований Дарбу. Признаки интегрируемости фундаментальных решеточных моделей, такие как пара Лакса, многомерная совместность, $\tau$-функции и солитонные решения, можно легко получить в результате непосредственного применения дискретных формул Крама.
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.