Let (X, d) be a separable ultra-metric space with compact balls. Given a reference measure µ on X and a distance distribution function σ on [0 , ∞), we construct a symmetric Markov semigroup {P t } t≥0 acting in L 2 (X, µ). Let {X t } be the corresponding Markov process. We obtain upper and lower bounds of its transition density and its Green function, give a transience criterion, estimate its moments and describe the Markov generator L and its spectrum which is pure point. In the particular case when X = Q n p , where Q p is the field of p-adic numbers, our construction recovers the Taibleson Laplacian (spectral multiplier), and we can also apply our theory to the study of the Vladimirov Laplacian. Even in this well established setting, several of our results are new. We also elaborate the relation between our processes and Kigami's jump processes on the boundary of a tree which are induced by a random walk. In conclusion, we provide examples illustrating the interplay between the fractional derivatives and random walks.
Об одном классе случайных возмущений иерархического лапласиана Пусть (X, d)-локально компактное сепарабельное ультраметрическое пространство. Каждой мере m на X и каждой функции C(B), определенной на множестве всех неодноточечных шаров B пространства X, соответствует иерархический лапласиан L = LC. Оператор L действует на L 2 (X, m), существенно самосопряжен и имеет чисто точечный спектр. Выбор семейства {ε(B)} независимых одинаково распределенных случайных величин определяет возмущенную функцию C(B, ω) и возмущенный иерархический лапласиан L ω = L C(ω). Изучаются арифметические средниеλ(ω) собственных значений оператора L ω. При некоторых слабых предположениях показано, что нормированные арифметические средние (λ − Eλ)/σ[λ] сходятся к N (0, 1) по распределению. Приведены также примеры, когда сходимости к нормальному распределению нет. Доказано существование интегральной плотности состояний. Вводится эмпирический точечный процесс N ω для собственных значений оператора L ω , и в предположении, что плотность состояний существует и непрерывна, доказывается, что конечномерные распределения процесса N ω сходятся к конечномерным распределениям пуассоновского точечного процесса. В качестве примера рассмотрены случайные возмущения оператора Владимирова, действующего на L 2 (X, m), где X = Qp-кольцо p-адических чисел, а m-мера Хаара. Библиография: 34 наименования. Ключевые слова: ультраметрическое пространство с мерой, поле p-адических чисел, иерархический лапласиан, дробное дифференцирование, лапласиан Владимирова, точечный спектр, интегральная плотность состояний, свертки Бернулли, задача Эрдёша, точечный процесс, сходимость к пуассоновскому распределению.
Пусть $(X,d)$ - локально компактное сепарабельное ультраметрическое пространство. Для заданных меры $m$ на $X$ и функции $C$, определенной на множестве $\mathcal{B}$ всех шаров $B\subset X$, рассматривается иерархический лапласиан $L=L_C$. Оператор $L$ действует на пространстве $L^2(X,m)$, является существенно самосопряженным и имеет чисто точечный спектр. Выбор семейства $\{\varepsilon(B)\}_{B\in\mathcal{B}}$ независимых одинаково распределенных случайных величин определяет возмущенную функцию $\mathcal{C}(B)=C(B)(1+\varepsilon(B))$ и возмущенный иерархический лапласиан $\mathcal{L}=L_{\mathcal{C}}$. Все «исходы» возмущенного оператора $\mathcal{L}$ являются иерархическими лапласианами. В частности, все они имеют чисто точечный спектр. Мы изучаем эмпирический точечный процесс $M$, определяемый в терминах собственных значений оператора $\mathcal{L}$. При некоторых естественных предположениях процесс $M$ можно аппроксимировать пуассоновским точечным процессом. Используя результат Р. Арратьи, Л. Гольдштейна и Л. Гордона, основанный на методе Чена-Стейна, мы устанавливаем для пуассоновской аппроксимации скорость сходимости в метрике полной вариации. Нашу теорию мы применяем к случайным возмущениям оператора $\mathfrak{D}^\alpha$, определяемого как $p$-адическая дробная производная порядка $\alpha>0$.
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.
hi@scite.ai
10624 S. Eastern Ave., Ste. A-614
Henderson, NV 89052, USA
Copyright © 2024 scite LLC. All rights reserved.
Made with 💙 for researchers
Part of the Research Solutions Family.