Poisson statistics of eigenvalues in the hierarchical Dyson model

Abstract

Пусть $(X,d)$ - локально компактное сепарабельное ультраметрическое пространство. Для заданных меры $m$ на $X$ и функции $C$, определенной на множестве $\mathcal{B}$ всех шаров $B\subset X$, рассматривается иерархический лапласиан $L=L_C$. Оператор $L$ действует на пространстве $L^2(X,m)$, является существенно самосопряженным и имеет чисто точечный спектр. Выбор семейства $\{\varepsilon(B)\}_{B\in\mathcal{B}}$ независимых одинаково распределенных случайных величин определяет возмущенную функцию $\mathcal{C}(B)=C(B)(1+\varepsilon(B))$ и возмущенный иерархический лапласиан $\mathcal{L}=L_{\mathcal{C}}$. Все «исходы» возмущенного оператора $\mathcal{L}$ являются иерархическими лапласианами. В частности, все они имеют чисто точечный спектр. Мы изучаем эмпирический точечный процесс $M$, определяемый в терминах собственных значений оператора $\mathcal{L}$. При некоторых естественных предположениях процесс $M$ можно аппроксимировать пуассоновским точечным процессом. Используя результат Р. Арратьи, Л. Гольдштейна и Л. Гордона, основанный на методе Чена-Стейна, мы устанавливаем для пуассоновской аппроксимации скорость сходимости в метрике полной вариации. Нашу теорию мы применяем к случайным возмущениям оператора $\mathfrak{D}^\alpha$, определяемого как $p$-адическая дробная производная порядка $\alpha>0$.