Abstact. For an arbitrary ordinary second order differential equation a test is constructed that checks if this equation is equivalent to Painleve I, II or Painleve III with three zero parameters equations under the substitutions of variables. If it is true then in case the Painleve equations I and II an explicite change of variables is given that is written using the differential invariants of the equation.
Решена проблема эквивалентности для уравнения Пенлеве IV. В терминах инвариантов точечных преобразований сформулированы необходимые и доста-точные условия эквивалентности произвольного дифференциального уравне-ния второго порядка уравнению Пенлеве IV. Раздельно рассмотрены три неэк-вивалентных друг другу случая: когда равны нулю оба параметра уравнения, a = b = 0; равен нулю только один параметр, b = 0; параметр b ̸ = 0. Во всех случаях приведена явная точечная замена, переводящая уравнение, удовлетво-ряющее приведенному тесту, в уравнение Пенлеве IV, а также выражения для параметров уравнения через инварианты.Ключевые слова: уравнения Пенлеве, точечное преобразование, проблема эквива-лентности, инвариант.
ВВЕДЕНИЕВ начале XX в. Пенлеве и другие исследовали обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка видагде функция R -рациональная по y ′ и аналитическая от x. Их целью было найти все уравнения, решения которых не имеют критических подвижных особых точек, т. е. обладают свойством Пенлеве. Им удалось полностью решить поставленную задачу и найти 50 уравнений, шесть из которых являлись принципиально новыми (они не допускали понижения порядка, и их решения определяли новые специальные функции). Эти уравнения в настоящее время носят название уравнений Пенлеве (уравнений PI-PVI) [
Second order ordinary differential equations that possesses the constant invariant are investigated. Four basic types of these equations were found. For every type the complete list of nonequivalent equations is issued. As the examples the equivalence problem for the Painleve II equation, Painleve III equation with three zero parameters, Emden equations and for some other equations is solved.
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.