“Painlevé 34” equation: Equivalence test

Abstract

We give the complete solution of the Equivalence Problem for "Painlevé 34" equation.

Open Problems for Painlevé Equations

“…where F is rational in w and dw/dz and locally analytic in z and solved the equations in terms of the first, second and fourth Painlevé transcendents, elliptic functions, or quadratures. For various results on classifying classes of second-order ordinary differential equations, including Painlevé equations, see Babich and Bordag [12], Bagderina [13,15,16,17,18], Bagderina and Tarkhanov [19], Berth and Czichowski [22], Hietarinta and Dryuma [78], Kamran, Lamb and Shadwick [88], Kartak [90,91,92,93], Kossovskiy and Zaitsev [97], Milson and Valiquette [106], Valiquette [139] and Yumaguzhin [145]. Most of these studies are concerned with the invariance of second-order ordinary differential equations of the form…”

Equivalence of second-order ordinary differential equations to Painlevé equations

“…Имеет место следующее соответствие между псевдоинвариантами A, B, F , G, H, рассмотренными в работах [10], [23], [26], и величинами (2.1), (2.2):…”

“…ОДУ четвертого типа, изучающиеся в настоящей работе, соответствуют первому случаю промежуточного вырождения из раздела 5 работы [10] и характеризуются соотношениями F = 0, A ̸ = 0, Ω = 0, M ̸ = 0. (7.1) В дальнейшем инварианты I j из работ [10], [23], [26] мы будем обозначать через i j . Для уравнений четвертого типа компоненты псевдовекторного поля γ из статьи [10] имеют вид…”

“…В работе [26] сформулирован критерий эквивалентности уравнению XXXIV из книги [15] и снова доказана только необходимость полученных условий. Доказательство достаточности не приводится.…”