This paper introduces a mathematical model which describes the dynamics of the spread of HIV in the human body. This model is comprised of a system of ordinary differential equations that involve susceptible cells, infected cells, HIV, immune cells and immune active cells. The distinguishing feature in the proposed model with respect to other models in the literature is that it takes into account cells that represent two distinct mechanisms of the immune system in the defense against HIV: the non-HIV-activated cells and the HIV-activated cells. With a view at minimizing the side effects of a treatment that employs a drug combination designed to attack the HIV at various stages of its life cycle, we introduce control variables that represent the infected patient's medication. The optimal control rule that prescribes the medication for a given time period is obtained by means of Pontryagin's Maximum Principle.
Sonoluminescence (SL) is the phenomenon in which acoustic energy is (partially) transformed into light. It may occur by means of many or just one bubble of gas inside a liquid medium, giving rise to the terms multi-bubble-and single-bubble sonoluminescence (MBSL and SBSL). In the last years some models have been proposed to explain this phenomenon, but there is still no complete theory for the light emission mechanism (especially in the case of SBSL). In this work, we will not address this more complicated particular issue, but only present a simple model describing the dynamical behaviour of the sonoluminescent bubble, in the SBSL case. Using simple numerical techniques within the software Matlab, we discuss solutions considering various possibilities for some of the parameters involved: liquid compressibility, superficial tension, viscosity, and type of gas. The model may be used as an introductory study of sonoluminescence in physics courses at undergraduate or graduate levels, as well as a quite clarifying example of a physical system exhibiting large nonlinearity. ‡
In this work we analyze the capacity of the human body to combat HIV. The model here treated takes into consideration four types of defense of an organism infected by HIV: susceptible defense cells, the infected immune cells, killer T cells, and the HIV specific killer T cells. This model therefore analyzes the interactions between the responses of killer T cells and HIV infections, evidencing how the immune system is attacked and how it defends. An optimal control problem is proposed to derive an optimal sequence of dosages in the standard drug treatment, in such a way as to minimize the side effects.
RESUMOEstudamos um modelo matemático que descreve a dinâmica de propagação do HIV no organismo humano. Este modeloé apresentado por meio de um sistema de equações diferenciais ordinárias que envolvem células suscetíveis, células infectadas, HIV, células de defesa e células de defesa ativas. A diferença desse modelo para outros encontrados na literatura são exatamente dois momentos de atuação do sistema imunológico na defesa contra o HIV: as células sem ativação para o HIV e as células ativadas para o HIV.O vírus da Imunodeficiência Humana, também conhecido como HIV, (sigla em inglês para human immunodeficiency virus),é da família dos retrovírus e o responsável pela AIDS. A infecção pelo HIV resulta em uma doença crônica e progressiva, que pode levarà destruição do sistema imunológico. A evolução da doença se caracteriza por uma elevada taxa de replicação viral, que resulta na emergência de variantes virais mais virulentas. A infecção pelo HIVé, atualmente, delineada pela contagem do número de células CD4+ pela quantidade de partículas virais no sangue (carga viral) e pelos sintomas clínicos.Para se reproduzir, o HIV une-seà membrana de uma célula vital para o sistema imunológico, a T4. O vírus libera seu RNA e uma enzima, a transcriptase reversa, com a qual fabrica o DNA viral. O DNA viral entra no núcleo e une-se ao DNA da célula, assumindo o comando. O resultado dessa uniãó e o DNA Pró-Viral que fabrica o RNA mensageiro com o código genético do vírus. O RNA mensageiro desloca-se para o citoplasma e produz os Vírions. Os Vírions saem da célula hospedeira como novos HIV's. Umúnico vírus gera muitos outros pontos para infectarem outras células (Amendoeira, 2009).O modelo proposto apresenta-se com a introdução de uma nova variável queé chamada de células específicas de defesa ativada. Consideramos que issoé extremamente importante para o modelo uma vez que em nosso organismo já possuímos células de defesa estando contaminado ou não. Faz parte do conjunto de células de qualquer indivíduo, possuir células suscetíveis e células de defesa que estão prontas para nos defender desde uma simples infecção até algo mais grave. Com a contaminação pelo HIV, o que ocorreé justamente a destruição dessas células que ficam impedidas de nos defender de uma simples gripe podendo tornar-se algo muito mais perigoso ao nosso organismo. Sendo assim, uma vez contaminada, a pessoa passa a ter também, células infectadas, vírus e células especificas de defesa ativada que estarão ali presentes com o intuito de tentar destruir exatamente o HIV.Neste trabalho, estamos propondo um novo modelo matemático para estudar a dinâmica do HIV no sistema imunológico humano. Estamos propondo modificações de vários modelos existentes na litera- * bolsista de Iniciação Científica PIBIC/CNPq
Abstract-We study a mathematical model that describes the dynamics of the spread of HIV in the human body. This model is introduced through a system of differential equations involving ordinary susceptible cells, infected cells, HIV, immune cells and cells of active defenses. The difference of these Model to others found in the literature are exactly two moments of activity of the immune system in the defense against HIV: cells without activation for HIV and the activated cells for HIV. Keywords-HIV, Mathematical Model, Immune SystemResumo-Estudamos um modelo matemático que descreve a dinâmica de propagação do HIV no organismo humano. Este modeloé apresentado por meio de um sistema de equações diferenciais ordinárias que envolvem células suscetíveis, células infectadas, HIV, células de defesa e células de defesas ativas. A diferença desses modelo para outros encontrados na literatura são exatamente dois momentos de atuação do sistema imunológico na defesa contra o HIV: as células sem ativação para o HIV e as células ativadas para o HIV.Palavras-chave-HIV, Modelagem Matemática, Sistema Imunológico. IntroduçãoO vírus da Imunodeficiência Humana, também conhecido como HIV, (sigla em inglês para human immunodeficiency virus),é da família dos retrovírus e o responsável pela AIDS. A infecção pelo HIV resulta em uma doença crônica e progressiva, que pode levarà destruição do sistema imunoló-gico. A evolução da doença se caracteriza por uma elevada taxa de replicação viral, que resulta na emergência de variantes virais mais virulentas. A infecção pelo HIVé, atualmente, delineada pela contagem do número de células CD4+ pela quantidade de partículas virais no sangue (carga viral) e pelos sintomas clínicos. Nem todas as pessoas apresentam todos os estágios da doença, e o tempo entre a infecção e a manifestação dos diferentes quadros clínicos pode variar muito, dependendo do indivíduo.Para se reproduzir, o HIV une-seà membrana de uma célula vital para o sistema imunológico, a T4. O vírus libera seu RNA e uma enzima, a transcriptase reversa, com a qual fabrica o DNA viral. O DNA viral entra no núcleo e une-se ao DNA da célula, assumindo o comando. O resultado dessa uniãoé o DNA Pró-Viral que fabrica o RNA mensageiro com o código genético do vírus.O RNA mensageiro desloca-se para o citoplasma e produz os Vírions. Os Vírions saem da célula hospedeira como novos HIV's. Umúnico vírus gera muitos outros pontos para infectarem outras células (Amendoeira, 2009).O modelo proposto apresenta-se com a introdução de uma nova variável queé chamada de células específicas de defesa ativadas. Isto deve-se explica-se, depois de alguns estudos e pesquisas, queé extremamente importante para o modelo uma vez que em nosso organismo já possuimos cé-lulas de defesa estando contaminado ou não. Faz parte do conjunto de células de qualquer indiví-duo, possuir células suscetíveis e células de defesa que estão prontas para nos defender desde uma simples infecção até algo mais grave. Com a contaminação HIV, o que ocorreé justamente a destruição dessas cé...
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