Let G be a complex connected reductive group. The Parthasarathy-Ranga RaoVaradarajan (PRV) conjecture, which was proved independently by S. Kumar and O. Mathieu in 1989, gives explicit irreducible submodules of the tensor product of two irreducible G-modules. This paper has three aims. First, we simplify the proof of the PRV conjecture, then we generalize it to other branching problems. Finally, we find other irreducible components of the tensor product of two irreducible G-modules that appear for 'the same reason' as the PRV ones.
Let L 0 (M) denote the local time (at 0) associated with a martin-gale M. The aim of this note is to prove that the mapping M → L 0 (M) is continuous from L 1 into weak-L 1. Soit (Ω, F , P, (F t)) un espace probabilisé filtré satisfaisant aux conditions usuelles de la théorie des martingales. Pour 1 ≤ p < +∞, nous désignons par L p l'ensemble des processus adaptés X définis sur cet espace et tels que X p = sup t≥0 E 1/p (|X t | p) < +∞ et par L 1 f l'ensemble des processus adaptés X définis sur cet espace et tels que sup t≥0 sup λ>0 λP(|X t | > λ) < +∞ , muni de la "norme" associéè a cette quantité. ´ Etant donné une martingale locale continue M , nous lui associons sa "transformée de Lévy" M définie par M t = t 0 sgn(M s) dM s et son temps local en 0, noté L 0 (M). On sait depuis les travaux de M. T. Barlow et M. Yor ([2]) que les applications M → L 0 (M) et M → M sont continues de L p dans L p pour 1 < p < +∞. Le but de ce qui suit est de prouver que l'application M → L 0 (M) est continue de L 1 dans L 1 f , ce qui, grâcè a la formule de Tanaka, revientàrevientà montrer que la transformation de Lévy l'est. Or on a plus précisément le Théorème. Il existe une constante universelle C telle que, pour tout couple (M, N) de martingales continues appartenantàappartenantà L 1 , on ait (1) sup t≥0 sup λ>0 λP(| M t − N t | > λ) ≤ C(M − N 1) 1/2 (M 1 + N 1) 1/2. Dans ce qui suit, nous désignerons par C une constante universelle, dont la valeur peut varier d'une lignè a l'autre. Nous poserons, pour toute martingale locale continue M et tout t ≥ 0, S t (M) = M 1/2 t. Nous commencerons par déduire le théorème du
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