Для каждой треугольной действительной алгебры Ли $\mathfrak{g}$ построено пополнение $C^\infty_\mathfrak{g}$ ее универсальной обертывающей алгебры. Оно является действительной алгеброй Фреше-Аренса-Майкла, состоящей из элементов полиномиального роста и удовлетворяющей следующему универсальному свойству: любой гомоморфизм алгебр Ли из $\mathfrak{g}$ в действительную банахову алгебру, все элементы которой имеют полиномиальный рост, может быть продолжен до непрерывного гомоморфизма из $C^\infty_\mathfrak{g}$. Элементы $C^\infty_\mathfrak{g}$ могут быть названы функциями класса $C^\infty$ от некоммутирующих переменных. Доказательство опирается на теорию представлений и использует упорядоченное $C^\infty$-функциональное исчисление. Помимо общего случая мы разбираем два простых примера. В качестве вспомогательного материала развиты начала общей теории алгебр полиномиального роста. Кроме того, рассмотрены локальные варианты пополнения и показано, что в нильпотентном случае возможно построить пучок некоммутативных функций на спектре Гельфанда алгебры $C^\infty_\mathfrak{g}$. Мы также обсуждаем теорию голоморфных функций некоммутирующих переменных, предложенную Доси, и используем наши методы для доказательства теорем, усиливающих некоторые его утверждения.
Библиография: 44 наименования.
Соотношение $xy-yx=h(y)$, где $h$ - голоморфная функция,
возникает естественным образом в определениях некоторых квантовых
групп. Чтобы придать правой части этого равенства строгий смысл,
мы предполагаем, что $x$ и $y$ - элементы банаховой алгебры (или
алгебры Аренса-Майкла). Мы докажем, что универсальная алгебра,
порожденная таким коммутационным соотношением, может быть представлена
в явном виде как аналитическое расширение Оре. Анализ ее структуры
показывает, что множество голоморфных функций от $y$ вырождается,
и лишь в каждом нуле $h$ сохраняется некоторая локальная алгебра
степенных рядов. Более того, эта локальная алгебра зависит только
от порядка нуля. В качестве приложения мы докажем результат
о замкнутых подалгебрах голоморфно конечно порожденных алгебр.
Библиография: 25 названий.