A graded K-algebra R is said to be Koszul if the minimal R-free graded resolution of K is linear. In this paper we study the Koszul property of the homogeneous coordinate ring R of a set of s points in the complex projective space P n . Kempf proved that R is Koszul if s ≤ 2n and the points are in general linear position. If the coordinates of the points are algebraically independent over Q, then we prove that R is Koszul if and only if s ≤ 1 + n + n 2 /4. If s ≤ 2n and the points are in linear general position, then we show that there exists a system of coordinates x 0 , . . . , x n of P n such that all the ideals (x 0 , x 1 , . . . , x i ) with 0 ≤ i ≤ n have a linear R-free resolution.
In [2] stellt D. A. BUCHSBAUM die Frage, ob in einem lokalen Ring A die Differenz von statischer und dynamischer Multiplizitlit (1) L(A/xA) --e,(z; -A ) von dem Parametersystem 2 unabhiingig ist. Diese Vermutung wurde in [14] negativ beantwortet, und in-[ 121 sind diejenigen Ringe charakterisiert, fur die diese Verinutung zutrifft. Im folgenden betrachten wir ewei andere Klassen von verallgerneinerten COHEN-MACAULAY-Strukturen, die mit diesen BUCHsBAtT31hingen eng verwandt sind. In (2.1) verallgemeinern wir den Begriff der reguliiren Sequenz (vgl. (1.2)) und betrachten anschIieBend die Moduln, fur die jedes Parametersystem eine solche filterreguiiire Sequenz ist. In (2.5) geben wir notwendige und hinreichende Bedingungen fur derartige f-Rloduln an. Nach einigen Vorbereitungen gelingt es uiis in (2.11), ein Hauptergebnis fur solche f-Noduln zu zeigen. Diese Moduln lassen sich notwendig und hinreichend durch die in [ 11 definierte Reduziertheit von Parametersystemen beschreiben. In (3.1) erinnern wir an die in [9] eingefuhrte Definition der Endlichkeitsdimension, einer kohomologischen GroBe eines endlich erzeugten Moduls. Hieran anschlieBend charakterisieren wir diejenigen Moduln, fur die diese Endlichkeitsdimension mit der Dimension des Moduls ubereinstimmt. Das setzt Untersuehungen aus [Q] fort, die dort fur Faktorringe von GoRENsTEiN-Ringen hegonnen wurden. Es zeigt sich u. a., daB die Differenz (1) fur irgendein Parameter-syRtem x beschrilnkt ist. In (3.7) berechnen wir die kleinste obere Schranke fur diese Differenz. Der Nachweis, daB ein Modul zu dieaer Klasse gehort, ist irn allgemeinen nicht leicht zu fuhren. Eine notwendige jedoch nicht hinreichende Bedingung ist die f-Moduleigenschaft. In (3.8) konnen wir zeigen, daB diese Redingung fur Moduln uber Faktorringen von CoHEN-MACAULAY-Ringen auch hinreichend ist. Im letzten Abschnitt beschlftigen wir uns mit BUCHSBAUM-!VfOdUln. In (4.3) g e h g t es uns, ein Kriterium fur BucHsBAuM-Ringe, das in [13] fur die Dimension zwei gezeigt irrt, auf beliebige Dimensionen zu ubertragen. Dies geschieht im
Let V be closed subscheme of [inline-graphic xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="01i" /] defined by a homogeneous ideal I ⊆ A = K [ X 1 , . . . , X n ], and let X be the ( n - 1)-fold obtained by blowing-up [inline-graphic xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="02i" /] along V . If one embeds X in some projective space, one is led to consider the subalgebra K [( I e ) c ] of A for some positive integers c and e . The aim of this paper is to study ring-theoretic properties of K [( I e ) c ]; this is achieved by developing a theory which enables us to describe the local cohomology of certain modules over generalized Segre products of bigraded algebras. These results are applied to the study of the Cohen-Macaulay property of the homogeneous coordinate ring of the blow-up of the projective space along a complete intersection. We also study the Koszul property of diagonal subalgebras of bigraded standard k -algebras.
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