In this article we study Hamiltonian flows associated to smooth functions H : R 4 → R restricted to energy levels close to critical levels. We assume the existence of a saddle-center equilibrium point pc in the zero energy level H −1 (0). The Hamiltonian function near pc is assumed to satisfy Moser's normal form and pc is assumed to lie in a strictly convex singular subset S 0 of H −1 (0). Then for all E > 0 small, the energy level H −1 (E) contains a subset S E near S 0 , diffeomorphic to the closed 3-ball, which admits a system of transversal sections F E , called a 2−3 foliation. F E is a singular foliation of S E and contains two periodic orbits P 2,E ⊂ ∂S E and P 3,E ⊂ S E \ ∂S E as binding orbits. P 2,E is the Lyapunoff orbit lying in the center manifold of pc, has Conley-Zehnder index 2 and spans two rigid planes in ∂S E . P 3,E has Conley-Zehnder index 3 and spans a one parameter family of planes in S E \ ∂S E . A rigid cylinder connecting P 3,E to P 2,E completes F E . All regular leaves are transverse to the Hamiltonian vector field. The existence of a homoclinic orbit to P 2,E in S E \ ∂S E follows from this foliation.
We study two-degree-of-freedom Hamiltonian systems. Let us assume that the zero energy level of a real-analytic Hamiltonian function H : R 4 → R contains a saddle-center equilibrium point lying in a strictly convex sphere-like singular subset S 0 ⊂ H −1 (0). From previous work [8] we know that for any small energy E > 0, the energy level H −1 (E) contains a closed 3-ball S E in a neighborhood of S 0 admitting a singular foliation called 2 − 3 foliation. One of the binding orbits of this singular foliation is the Lyapunoff orbit P 2,E contained in the center manifold of the saddle-center. The other binding orbit lies in the interior of S E and spans a one parameter family of disks transverse to the Hamiltonian vector field. In this article we show that the 2 − 3 foliation forces the existence of infinitely many periodic orbits and infinitely many homoclinics to P 2,E in S E . Moreover, if the branches of the stable and unstable manifolds of P 2,E inside S E do not coincide then the Hamiltonian flow on S E has positive topological entropy. We also present applications of these results to some classical Hamiltonian systems.
A minha família, especialmente aos meus pais Silméia e Leônidas e ao meu irmão Arthur pela compreensão e pelas palavras de apoio e incentivo.Ao meu noivo Bruno pelo companheirismo, pela paciência e por me trazer alegria e otimismo até mesmo nos momentos mais difíceis.Ao meu orientador Pedro A. S. Salomão pela competência, pela dedicação, pela disponibilidade e por me apresentar umaárea tão próspera e fascinante da Matemática.Aos membros da comissão julgadora pelas sugestões, pelos elogios e pelo encorajamento.Aos meus professores da UNESP de Rio Claro, da UNICAMP e da USP que me conduziram até aqui com tanta estima.A minha amiga Moara que, mesmo a distância, me conforta com seus conselhos e seu carinho.Aos meus amigos da UNESP e da USP: Adriano, Luciano, Danillo, Diego, Danilo, Edson, Tatiane, Pricila, Gustavo e Dylene, Bruno, André, Anderson, Marcelo, Hector e Susana, Débora e Humberto, Oscar e Eliane, Juliano e Graciele, e todos aqueles que estiveram ao meu lado durante estes anos de estudo.A FAPESP pelo apoio financeiro, sem o qual não seria possível desenvolver esta pesquisa. Neste trabalho estudamos dinâmica Hamiltoniana em R 4 restrita a níveis de energia próximos a níveis críticos. Mais precisamente, consideramos uma função Hamiltoniana H : R 4 → R que possui um ponto de equilíbrio do tipo sela-centro p c ∈ H −1 (0) e assumimos que p c pertence a um conjunto singular estritamente convexo S 0 ⊂ H −1 (0). Então, mostramos que os níveis de energia H −1 (E), com E > 0 suficientemente pequeno, contêm uma 3-bola fechada S E próxima a S 0 que admite um sistema de seções transversais F E , chamado folheação 2 − 3. F Eé uma folheação singular de S E com conjunto singular formado por duasórbitas periódicas P 2,E ⊂ ∂S E e P 3,E ⊂ S E \ ∂S E . Aórbita P 2,Eé hiperbólica dentro do nível de energia H −1 (E), pertenceà variedade central do sela-centro p c , temíndice de Conley-Zehnder 2 eé o limite assintótico de dois planos rígidos de F E que, unidos com P 2,E , constituem a 2-esfera ∂S E . Aórbita P 3,E temíndice de Conley-Zehnder 3 eé o limite assintótico de uma família a um parâmetro de planos de F E contida em S E \ ∂S E . Um cilindro rígido conectando asórbitas P 3,E e P 2,E completa a folheação F E . Uma vez que F Eé um sistema de seções transversais, todas as suas folhas regulares são transversais ao fluxo Hamiltoniano de H. Como consequência da existência de uma tal folheação em S E , concluímos que aórbita hiperbólica P 2,E admite pelo menos umaórbita homoclínica contida em S E \ ∂S E . Palavras-chave:Fluxos Hamiltonianos, conjuntos singulares estritamente convexos, pontos de equilíbrio do tipo sela-centro, curvas pseudo-holomorfas em simplectizações, sistema de seções transversais.iii In this work we study Hamiltonian dynamics in R 4 restricted to energy levels close to critical levels. More precisely, we consider a Hamiltonian function H : R 4 → R containing a saddle-center equilibrium point p c ∈ H −1 (0) and we assume that p c lies on a strictly convex singular set S 0 ⊂ H −1 (0). Then we prove that the en...
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