Systems of Transversal Sections near Critical Energy Levels of Hamiltonian Systems in ℝ⁴

Abstract

In this article we study Hamiltonian flows associated to smooth functions H : R 4 → R restricted to energy levels close to critical levels. We assume the existence of a saddle-center equilibrium point pc in the zero energy level H −1 (0). The Hamiltonian function near pc is assumed to satisfy Moser's normal form and pc is assumed to lie in a strictly convex singular subset S 0 of H −1 (0). Then for all E > 0 small, the energy level H −1 (E) contains a subset S E near S 0 , diffeomorphic to the closed 3-ball, which admits a system of transversal sections F E , called a 2−3 foliation. F E is a singular foliation of S E and contains two periodic orbits P 2,E ⊂ ∂S E and P 3,E ⊂ S E \ ∂S E as binding orbits. P 2,E is the Lyapunoff orbit lying in the center manifold of pc, has Conley-Zehnder index 2 and spans two rigid planes in ∂S E . P 3,E has Conley-Zehnder index 3 and spans a one parameter family of planes in S E \ ∂S E . A rigid cylinder connecting P 3,E to P 2,E completes F E . All regular leaves are transverse to the Hamiltonian vector field. The existence of a homoclinic orbit to P 2,E in S E \ ∂S E follows from this foliation.

On the existence of connecting orbits for critical values of the energy

“…By considering a subsequence, that we still denote by {u j }, we can also assume that there exist T 5) and in the last limit the convergence is uniform on bounded intervals. This follows from (2.3) which implies that the sequence {u j } is equi-bounded and from (2.2) which implies 6) so that the sequence is also equi-continuous. By passing to a further subsequence we can also assume that u j u…”

Sistemas de seções transversais próximos a níveis críticos de sistemas Hamiltonianos em $\mathbb{R}^4$

“…Reveja Figura 2.3. Agora vamos descrever um dos principais objetos deste trabalho, o qual chamamos, como em [12], de folheação 3 − 2 − 3. Nesta denominação, os números correspondem aoíndice de Conley-Zehnder dos bindings da folheação.…”

“…E, dando continuidade a este segmento, N.V. de Paulo e P.A.S. Salomão estudaram, em [12], a dinâmica Hamiltoniana em níveis de energia imediatamente acima de um conjunto singular estritamente convexo contendo um ponto de equilíbrio do tipo sela-centro, como vamos detalhar no restante desta tese.…”

“…Este resultado se aplica aos exemplos tratados em [52]. O objetivo desta teseé discutir detalhadamente o trabalho desenvolvido em [12]. Para isso, organizamos a exposição em três capítulos e dois apêndices.…”

“…Salomão introduziu os conjuntos singulares estritamente convexos em [52], onde apresentou exemplos concretos da existência destes conjuntos no caso especial em que a função Hamiltonianaé da forma "energia cinética mais energia potencial". Em [12], a autora desta tese N. V. de Paulo e seu orientador P. A. S. Salomão estudam sistemas Hamiltonianos em R 4 restritos a níveis de energia imediatamente acima de um conjunto singular estritamente convexo. Mais precisamente, consideramos uma função Hamiltoniana H : R 4 → R admitindo um ponto de equilíbrio do tipo sela-centro p c ∈ H −1 (0) que satisfaz duas propriedades essenciais: a primeira delasé uma condição local que garante a integrabilidade do fluxo Hamiltoniano em torno do sela-centro p c e a segundaé a hipótese de que p c pertence a um conjunto singular estritamente convexo S 0 ⊂ H −1 (0).…”