The paper is devoted to studying the stability and instability of extremals of a potential energy functional. A particular case of this functional is the area type functionals. The potential energy functional is the sum of functionals of area type and of volume density of forces. The potential energy functional is constructed in such way in order to take into consideration the loads on the surface from outside and inside. The stability is defined as the sign-definiteness of the second variation. In this paper we prove the formulae for the first and second variations of the functional. We also prove that the extremal surface can be locally minimal and locally maximal depending on the sign of matrix. Using the-capacity and the second variation of the functional, we obtain the conditions for the instability of the extremals of the potential energy functional. This technique was developed in works by V.M. Miklyukov and V.A. Klyachin. For-parabolic extremal surfaces we prove the degeneracy into the plane. This result is an analogue of the theorems by M. do Carmo and C.K. Peng. By an example of-dmensional surfaces of revolution we demonstrate the formulae for the first and second variations of the functional. We also prove the criteria of stability and instability for-dimensional surfaces of revolution. Similar extremal surfaces arise in applications, in physical problems (e.g. soap films, capillary surfaces, magnetic liquids in a gravitational field with a potential), and the properties of extreme surfaces are used in applied problems (e.g. modeling of awning coverings).
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерных наук и экспериментальной математики, Волгоградский государственный университет nmedv@mail.ru, natasha_medvedeva@volsu.ru просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация Аннотация. При исследовании поверхностей на устойчивость (или не-устойчивость) необходимо получить выражения первой и второй вариации функционала. В данной статье представлена первая часть исследования функ-ционала потенциальной энергии. А именно, получение формулы первой вари-ации функционала потенциальной энергии и уравнений экстремалей. А также приведены и доказаны некоторые следствия, которые позволяют произвести построение экстремальных поверхностей вращения.Ключевые слова: вариация функционала, экстремальная поверхность, функционал типа площади, функционал объемной плотности сил, функционал потенциальной энергии, средняя кривизна экстремальной поверхности.
ВведениеВ настоящей работе представлено исследование функционала потенциальной энер-гии на предмет получения уравнений его экстремалей и их свойств. Так же как мини-мальные поверхности есть экстремали функционала площади, так и рассматриваемые нами гладкие поверхности -экстремали специального функционала, который является линейной комбинацией функционала типа площади и функционала от объемной плот-ности сил. Подобные экстремальные поверхности моделируют состояния равновесных жидкостей в гравитационном поле с потенциалом, тентовые покрытия, магнитные жид-кости, капиллярные поверхности. Поэтому их изучение на устойчивость и неустойчи-вость не теряет актуальности, а лишь претерпевает изменения в виде функционалов, чтобы вместить больше физических характеристик системы. Например, функционал (энергия) может быть комбинацией энергии поверхностного натяжения, гравитацион-ной энергии, энергии изгибной деформации.
60
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.