In this paper, we discuss the tunneling time of a quantum particle through a rectangular barrier. The reflection and transmission times associated with the wave packets representing the particle are discussed. By using an initial Gaussian momentum distribution, we carry out a comparative analysis of the stationary phases of the incident, reflected, and transmitted wave packets leading to the reflection and transmission times ⌬t R and ⌬t T , respectively. In the present treatment of this old and very known problem we take into account the deformations of the reflected and transmitted momentum distributions. These deformations produce a dependence of the reflection and transmission times on the location of the initial wave packet. In a parallel calculation, by numerically monitoring the time evolution of the system, we characterize a reflection and a transmission time. Such times agree with the ones obtained via the stationary phase method.

A time for a quantum particle to traverse a barrier is obtained for stationary states by setting the local value of a ''time'' operator equal to a constant. This time operator, called the tempus operator because it is distinct from the time of evolution, is defined as the operator canonically conjugate to the energy operator. The local value of the tempus operator gives a complex time for a particle to traverse a barrier. The method is applied to a particle with a semiclassical wave function, which gives, in the classical limit, the correct classical traversal time. It is also applied to a quantum particle tunneling through a rectangular barrier. The resulting complex tunneling time is compared with complex tunneling times from other methods.

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We show that the locally constant force necessary to get a stable hyperbolic motion regime for classical charged point particles, actually, is a combination of an applied external force and of the electromagnetic radiation reaction force. It implies, as the strong Equivalence Principle is valid, that the passive gravitational mass of a charged point particle should be slight greater than its inertial mass. An interesting new feature that emerges from the unexpected behavior of the gravitational and inertial mass relation, for classical charged particles, at very strong gravitational field, is the existence of a critical, particle dependent, gravitational field value that signs the validity domain of the strong Equivalence Principle. For electron and proton, these critical field values are gc ≃ 4.8 × 10 31 m/s 2 and gc ≃ 8.8 × 10

São examinadas as condições físicas e matemáticas da consonância das ondas sonoras, estabelecendo-se uma relação entre suas frequências fundamentais. Mostra-se queé independente de fases e amplitudes relativas além de ser válida para todas as suas componentes harmônicas, concluindo-se que esta relação de consonância assim definida depende apenas das frequências fundamentais. Por fim, examina-se como esta relação se manifesta na estrutura da escala musical. Palavras-chave: física e música, relação de consonância, escala musical.Physical and mathematical conditions of consonance of sound waves are examined and a relation between its fundamental frequencies is established. It is shown that it is independent from the relative phases and amplitudes as well as the validity for all the harmonic frequencies. At last, it is discussed how this consonance relation manifests itself in musical scales. Keywords: physics and music, consonance relations, musical scales. IntroduçãoA músicaé a arte dos sons e a consonância das ondas sonorasé o que torna possível a música na nossa vida. As regras para se combinar sons consonantes são bem conhecidas, tendo sido estabelecidas ao longo da evolução da música. Os elementos básicos são as notas e os intervalos entre as notas, cujas propriedades principais são a frequência (da nota) e a consonância (do intervalo). Se duas notas musicais tem frequências f 1 e f 2 , respectivamente, o intervalo entre estas notasé definido pela relação r = f 2 : f 1 . Embora a frequência seja uma grandeza contínua, a músicaé composta por sons consonantes, sendo que os intervalos de interesse musical se manifestam como frações de uma oitava, assim chamada por conter oito notas (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si, Dó) dentro do intervalo de frequência f (Dó) : f (dó) = 2. Estas oito notas definem a escala musical básica conhecida como a escala de dó maior.Em relaçãoà nomenclatura [1], as denominações das notas musicais estão relacionados com a língua dominante dos países, principalmente, conforme mostra a Tabela 1. Países de idiomas diferentes tendem a adotar a nomenclatura inglesa devido ao predomínio do inglês como linguagem universal. Neste texto os nomes das notas, exceto os da oitava central, serão em letras minúsculas, os acentos podendo ser omitidos. Quantò as oitavas, serão indicadas poríndices inferiores variando de 0 a 8.A chamada música ocidentalé baseada na escala de entonação justa, um conjunto de notas musicais no intervalo de frequências de f 0 a f 1 = 2f 0 que define uma oitava, f 0 uma frequência de referência. A audição humanaé sensível a frequências entre 20 Hz a 20.000 Hz, e um piano típico cobre 7 oitavas, das notas la 0 a do 8 , com frequências de 27,5 Hz e 4.224 Hz, respectivamente, tendo como padrão de afinação a nota la 4 (quarta oitava, central) com frequência atribuída de 440 Hz [2,3]. A Fig. 1 mostra o teclado do piano; a nota dó central, de referência, próximaà chave,é o do 4 .É claro que o teclado do piano contém muito mais notas do que as oito (por oitava) necessárias para a escala bás...