"A fé não consiste em saber qualé o mistério do universo, mas sim em ter a convicção de que existe um mistério e eleé maior do que nós". Rabino David Wolpe AgradecimentosTentarei expressar em poucas linhas minha gratidãoàs pessoas que de alguma forma estiveram presentes e que muito me ajudaram em meu caminho até aqui.A Deus, pela constante e amorosa presença.A minha família, que sempre me deu suporte de forma incondicional em todos os aspectos possíveis durante meus estudos. Aos meus pais, Vicente e Jovina, pela dedicação, pela educação e pelo esforço para comigo e meus irmãos. Agradeço-os ainda pelo exemplo de pessoasíntegras que são. Aos meus irmãos, Carlos, Claudinei, Márcio, Gil, Jonas e Alexandre, eàs minhas irmãs, Roseli e Eliane, a quem devo tudo que sou.Ao Prof. Dr. Eduardo Fontoura Costa, pela amizade, competência, seriedade e pela forma generosa com que compartilhou seus conhecimentos nestes dois anos de trabalho.Aos professores Ivo Machado da Costa e José Ruidival dos Santos Filho, pelos valorosos ensinamentos no curso de graduação.A CAPES -Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, pelo suporte financeiro.A todos os professores e funcionários do Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação da Universidade de São Paulo.A todos os amigos e colegas, em especial, a Aline, Giseli, Laís e Letrícia.Meus sinceros agradecimentos. ResumoO filtro de Kalmané amplamente conhecido e utilizado em aplicações, em virtude de apresentar diversas propriedades interessantes. Este trabalho aborda uma das características mais importantes, a estabilidade do filtro de Kalman aplicado a sistemas lineares discretos com saltos Markovianos. Sistemas desta classe são muito empregados em problemas práticos.Neste trabalho mostramos que o conceito de controlabilidade fraca e detetabilidade estocástica são condições suficientes para estabilidade do filtro de Kalman com relação a condição inicial. No que se refere a estabilidade no sentido mais usual, apresentamos resultados parciais, dependentes de uma condição adicional sobre a cadeia de Markov, bem como uma conjectura.O estudo da estabilidade do filtro de Kalmané relevante, pois filtros instáveis oferecem estimativas de baixa qualidade. O tema tem interesse teórico inerente eé bastante relevante para aplicacões. AbstractKalman filters present several interesting features that make them relevant for many applications. In this work we study one of the main issues in Kalman filtering -stability. We deal with Kalman filters for Markov jump linear systems, a class of systems with applications in many different areas.We consider the concepts of weak controllability and stochastic detectability and we show that they ensure stability of the Kalman filter with respect to the initial condition. As for the stability, we present some results relying in a conjecture and an additional condition on the Markov chain.The study of the stability of the Kalman filter is important, since unstable filters may lead to poor estimates. The stability issue has inherent theoretical int...
AgradecimentosExpressarei em poucas linhas minha gratidão àqueles que de alguma forma estiveram presentes e que muito me ajudaram em meu caminho até aqui.À Deus, pela constante e amorosa presença.À minha família, que sempre me deu suporte de forma incondicional em todos os aspectos possíveis durante meus estudos.À Letricia e Luciano, pela lealdade, amizade e atenção. AbstractThis work studies linear filtering for discrete-time systems with Markov jump parameters. We introduce a notion of average reachability for these systems and present a set of matrices playing the role of reachability matrices, in the sense that their rank is full if and only if the system is average reachable. Reachability is also a sufficient condition for the second moment of the system to be positive. Uniform positiveness of the error covariance matrix is studied for general (possibly non-markovian) linear estimators, relying on the state second moment positiveness. Stability of linear markovian estimators is also addressed, allowing to show that markovian estimators are stable whenever the system is reachable, with the interpretation that the error covariance remains bounded in the presence of error of any magnitude in the model of the noise, which is a relevant feature for applications. Numerical examples are included.
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