Variant of method of symmetries in a task about the vibrations of circular plate with a decreasing thickness by law of concave parabola The decision of task is got about the vibrations of circular plate with a decreasing thickness by law of concave parabola. For the decision of differential equalizations of IV of order, that describe the axisymmetric vibrations of plates of variable thickness the methods of symmetries and factorization are used. The first are found three natural frequencies and the corresponding to them forms of vibrations are built for a circular plate with the hard fixing of internal contour. The results of calculation confirmed reliability of the worked out methodology and satisfactory exactness offered approach for tasks about the vibrations of plates of disk-type. Reference 11, figures 3, tables 1.
На основi методiв симетрiї i факторизацiї отримано загальне аналiтичне рiшення диференцiального рiвняння четвертого порядку для задачi про вiльнi вiсесиметричнi коливання кругової пластинки зi змiнною товщиною. Законом змiни товщини є увiгнута парабола h=H 0 (1-μρ) 2 , де μ -постiйний коефiцiєнт, який визначає ступiнь угнутостi пластинки. Рiшення представлено у функцiях Беселя нульового та першого порядку вiд дiйсного i уявного аргументу. Розглянута кругова кiльцева пластинка з жорстким закрiпленням внутрiшнього контуру i вiльним зовнiшнiм краєм при трьох значеннях коефiцiєнта μ. Визначено першi три власнi значення задачi (частотнi числа) i власнi функцiї (форми коливань). Показано, що власнi частоти перших трьох форм коливань зi зростанням угнутостi (збiльшенням μ) знижуються в рiзнiй мiрi, яка визначається номером частотного числа λ i (i=1, 2, 3). При μ=1,21417 i μ=1,39127 частоти в порiвняннi з випадком μ=0,5985 знижуються вiдповiдно на (1; 1,3) %, (17,6; 24) %, (22,85; 30, 35) % для λ 1 , λ 2 , λ 3 . Видно, що наявне iстотне падiння частоти на вищих формах коливань (λ 2 , λ 3 ) i незначне при основнiй формi (λ 1 ). Встановлено значення i координати екстремальних прогинiв (пучностей коливань) i орiєнтовнi координати вузлових перерiзiв. Наведенi числовi параметри поряд з частотними показниками є засобом для iдентифiкацiї коливальних властивостей пластинки при її вивченнi на практицi. Побудовано графiчнi залежностi для радiальних σ r i тангенцiальних σ θ циклiчних напружень при основнiй формi для кожного з трьох варiантiв угнутостi параболiчної пластинки. Встановлено, що збiльшення вiдношення крайових товщин, тобто увiгнутостi, призводить до пiдвищення σ r в перерiзах за межами закрiплення. Цi напруження, що дiють вiддалено вiд вiльного краю, наприклад, в закрiпленнi або в районi дiї максимальних σ θ в рiзнiй мiрi перевершують σ θ . Через це цi напруження представляють собою основну небезпеку з точки зору циклiчної мiцностi пластинки при досягненнi σ r руйнiвних значень. Вiдзначено можливiсть за рахунок пiдвищення увiгнутостi параболiчної пластинки забезпечити оптимальне спiввiдношення мiж значеннями σ r в закрiпленнi i σ r , якi дiють за межами вiд закрiплення. Це спiввiдношення, яке дорiвнює приблизно 1, забезпечується у випадку μ=1,39127, що розглянуто в роботiКлючовi слова: кiльцева пластинка, змiнна товщина, метод симетрiй, власне число, напружено-деформований стан
This paper reports an analytical solution to one of the problems related to applied mechanics and acoustics, which tackles the analysis of free axisymmetric bending oscillations of a circular plate of variable thickness. A plate rigidly-fixed along the contour has been considered, whose thickness changes by parabola h(ρ)=H0(1+µρ) 2. For the initial assessment of the effect exerted by coefficient µ on the results, the solutions at µ=0 and some µ≠0 have been investigated. The differential equation of the shapes of a variable-thickness plate's natural oscillations, set by the h(ρ) function, has been solved by a combination of factorization and symmetry methods. First, a problem on the oscillations of a rigidly-fixed plate of the constant thickness (µ=0), in which h(1)/h(0)=η=1, was solved. The result was the computed natural frequencies (numbers λ i at i=1...6), the constructed oscillation shapes, as well as the determined coordinates of the nodes and antinodes of oscillations. Next, a problem was considered about the oscillations of a variable-thickness plate at η=2, which corresponds to µ=0.4142. Owing to the symmetry method, an analytical solution and a frequency equation for η=2 were obtained when the contour is rigidly clamped. Similarly to η=1, the natural frequencies were calculated, the oscillation shapes were constructed, and the coordinates of nodes and antinodes of oscillations were determined. Mutual comparison of frequencies (numbers λ i) shows that the natural frequencies at η=2 for i=1...6 increase significantly by (28...19.9) % compared to the case when η=1. The increase in frequencies is a consequence of the increase in the bending rigidity of the plate at η=2 because, in this case, the thickness in the center of both plates remains unchanged, and is equal to h=H 0. The reported graphic dependences of oscillation shapes make it possible to compare visually patterns in the distribution of nodes and antinodes for cases when η=1 and η=2. Using the estimation formulae derived from known ratios enabled the construction of the normalized diagrams of the radial σ r and tangential σ θ normal stresses at η=1 and η=2. Mutual comparison of stresses based on the magnitude and distribution character has been performed. Specifically, there was noted a more favorable distribution of radial stresses at η=2 in terms of strength and an increase in technical resource
Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського» Трапезон К.О. Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського» ДОСЛІДЖЕННЯ ОСОБЛИВОСТЕЙ ІНФРАЗВУКОВИХ СЕНСОРІВ У РАЗІ ВИЯВЛЕННЯ ПОВІТРЯНИХ ОБ'ЄКТІВ Наведено два підходи для виявлення повітряних об'єктів в рамках класичної теорії локації. Перший підхід пов'язаний з оцінкою напруженості електричного поля уздовж траєкторії польоту літального апарату. Другий підхід полягає в оцінці випромінювання з боку літального апарату на основі роботи мобільної пасивної радіолокаційної станції і набору інфразвукових сенсорів. Запропоновано технічне рішення щодо поєднання під час виявлення літальних апаратів пасивного пеленгатору сигналів і активного радіолокаційного далекоміру. Такий спосіб дозволяє швидше розв'язати задачу локації і визначити координати та траєкторію руху літального апарату. Проаналізовані вимоги до інфразвукових пеленгаторів сигналів на основі перетворення формули з визначення дальності пасивної радіолокації. Відмічено, що необхідна дальність дії пасивних пеленгаторів досягається істотно меншими енергетичними витратами. На основі проведеного аналізу в рамках дослідження сформульовані особливості функціонування інфразвукових сенсорів. Так, наголошено, що інфразвуковий сенсор через певні особливості розповсюдження інфразвукових сигналів в просторі може забезпечити більш раннє виявлення цілі у порівнянні з роботою стандартної радіолокаційної станції, яка працює на випромінювання. Запропоновано рішення щодо можливості використання в пасивній радіолокаційній станції набору інфразвукових сенсорів. Цей прийом дозволяє швидше розв'язати задачу пасивної локації, адже збільшується при цьому і точність, і кількість інформаційних каналів, які надають інформацію про ціль. Визначено положення, які слід враховувати під час виявлення повітряних об'єктів, які рухаються на низьких висотах. Зокрема, оцінка ефективності роботи традиційної радіолокаційної станції вимагає врахування екрануючої дії місцевості. За використання ж інфразвукових сенсорів така оцінка місцевості не є основною під час розв'язання задачі локації.
Наведено алгоритм аналітичного розв'язку однієї з задач механіки пружних тіл, що пов'язана з вивченням власних коливань складеної двохступеневої пластинки, в якій увігнута частина плавно сполучається з частиною постійної товщини. Окреслено особливості формулювання граничних і перехідних умов, які необхідно дотримуватись при розгляді власних коливань двохступеневої пластинки. Отримано співвідношення, які дозволяють вивчити розподіл прогинів і визначити значення амплітуд згінних коливань пластинки. Зазначено, що форми коливань побудовано на основі положень розроблених та розвинутих раніше авторами методів симетрії та факторизації. Зокрема знайдено, що прогини можна дослідити через вирази, які визначаються через суму відповідних розв'язків двох лінійних диференціальних рівнянь другого порядку зі змінними коефіцієнтами. На основі запропонованого підходу визначено систему з вісьмох однорідних алгебраїчних рівнянь, яка дозволила побудувати частотне рівняння для пластинки, що жорстко закріплена за внутрішнім контуром і є вільною на зовнішньому контурі. Знайдено значення власних частот пластинки для перших трьох форм власних коливань. Причому, задля апробації та для розширення набору пластинок різної конфігурації розглянуто пластинки з двома видами ввігнутості у їх змінній частині. Нові підходи та отримані на їх основі співвідношення можуть бути корисними для подальшого розвитку методів розв'язку подібних задач математичної фізики на власні значення. Практичним уособленням цього є задачі про коливання пластинок змінної товщини різної форми Ключові слова: власні частоти, форми коливань, аналітичний розв'язок, кільцева пластинка, вільні коливання, метод симетрій
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.
hi@scite.ai
10624 S. Eastern Ave., Ste. A-614
Henderson, NV 89052, USA
Copyright © 2024 scite LLC. All rights reserved.
Made with 💙 for researchers
Part of the Research Solutions Family.