Analysis of free oscillations of circular plates with variable thickness based on the symmetry method

Abstract

На основi методiв симетрiї i факторизацiї отримано загальне аналiтичне рiшення диференцiального рiвняння четвертого порядку для задачi про вiльнi вiсесиметричнi коливання кругової пластинки зi змiнною товщиною. Законом змiни товщини є увiгнута парабола h=H 0 (1-μρ) 2 , де μ -постiйний коефiцiєнт, який визначає ступiнь угнутостi пластинки. Рiшення представлено у функцiях Беселя нульового та першого порядку вiд дiйсного i уявного аргументу. Розглянута кругова кiльцева пластинка з жорстким закрiпленням внутрiшнього контуру i вiльним зовнiшнiм краєм при трьох значеннях коефiцiєнта μ. Визначено першi три власнi значення задачi (частотнi числа) i власнi функцiї (форми коливань). Показано, що власнi частоти перших трьох форм коливань зi зростанням угнутостi (збiльшенням μ) знижуються в рiзнiй мiрi, яка визначається номером частотного числа λ i (i=1, 2, 3). При μ=1,21417 i μ=1,39127 частоти в порiвняннi з випадком μ=0,5985 знижуються вiдповiдно на (1; 1,3) %, (17,6; 24) %, (22,85; 30, 35) % для λ 1 , λ 2 , λ 3 . Видно, що наявне iстотне падiння частоти на вищих формах коливань (λ 2 , λ 3 ) i незначне при основнiй формi (λ 1 ). Встановлено значення i координати екстремальних прогинiв (пучностей коливань) i орiєнтовнi координати вузлових перерiзiв. Наведенi числовi параметри поряд з частотними показниками є засобом для iдентифiкацiї коливальних властивостей пластинки при її вивченнi на практицi. Побудовано графiчнi залежностi для радiальних σ r i тангенцiальних σ θ циклiчних напружень при основнiй формi для кожного з трьох варiантiв угнутостi параболiчної пластинки. Встановлено, що збiльшення вiдношення крайових товщин, тобто увiгнутостi, призводить до пiдвищення σ r в перерiзах за межами закрiплення. Цi напруження, що дiють вiддалено вiд вiльного краю, наприклад, в закрiпленнi або в районi дiї максимальних σ θ в рiзнiй мiрi перевершують σ θ . Через це цi напруження представляють собою основну небезпеку з точки зору циклiчної мiцностi пластинки при досягненнi σ r руйнiвних значень. Вiдзначено можливiсть за рахунок пiдвищення увiгнутостi параболiчної пластинки забезпечити оптимальне спiввiдношення мiж значеннями σ r в закрiпленнi i σ r , якi дiють за межами вiд закрiплення. Це спiввiдношення, яке дорiвнює приблизно 1, забезпечується у випадку μ=1,39127, що розглянуто в роботiКлючовi слова: кiльцева пластинка, змiнна товщина, метод симетрiй, власне число, напружено-деформований стан