Let L : [0, 1] \ {d} → [0, 1] be a one-dimensional Lorenz like expanding map (d is the point of discontinuity), P = {(0, d), (d, 1)} be a partition of [0, 1] and C α ([0, 1], P) the set of piecewise Hölder-continuous potential of [0,1] with the usual C 0 topology. In this context, we prove, improving a result of [2], that piecewise Hölder-continuous potential φ satisfying max n lim sup n→∞ 1 n (S n φ)(0), lim sup n→∞ 1 n (S n φ)(1) o < P top (φ, T) support an unique equilibrium state. Indeed, we prove there exists an open and dense subset H of C α ([0, 1], P) such that, if φ ∈ H, then φ admits one equilibrium measure.Contents 14 Proof of that H is C 0 -dense in C α ([0, 1], P) 16 References 17
A Deus, que por intermédio do Senhor Jesus me fortaleceu, me capacitou em sabedoria, me abençoou com saúde e entusiasmo durante todo o período do doutorado. Meu Senhor deixo aqui minha eterna gratidão, porque só o Senhor saber o quão grande são as minhas limitações. Ao Prof. Dr. Ali Tahzibi, por sua valiosa orientação, paciência, dedicação, entusiasmo, pelas oportunidades proporcionadas e por sua grande amizade sem a qual não teria aprendido a me guiar pelas estradas numéricas da matemática. Ali, meu muito obrigado seu entusiasmo e sinceridade foram fundamentais para o meu crescimento. Ao Prof. Dr. Krerley Oliveira, pelo empenho, pela motivação, pelas valiosas sugestões que fortaleceram este trabalho em suas fases finais e pela hospitalidade no período em que estive na Universidade Federal de Alagoas. Ao Prof. Dr. Enoch Apaza, por sua grandiosa paciência e por todas as valiosas conversas no período em que esteve no ICMC-USP e, posteriormente, nos estudos desenvolvidos junto a Universidade Federal de Alagoas. Enoch ressalto aqui minha sincera amizade e gratidão. Ao Prof. Dr. Daniel Smania, pela gentileza no atendimento em todos os momentos em que na porta de sua sala eu bati, pelas preciosas conversas informais e por todas as sugestões. Daniel, muito obrigado. Ao Prof. Dr. Marcelo Saia, por todos os esclarecimentos, orientações e por todas as tardes de Futebol. A Profa. Dra. Angela Maria Sitta, por toda a formação acadêmica desde os primeiros projetos de iniciação científica até o mestrado e por ter sido a maior incentivadora para o meu ingresso no curso de doutorado em matemática. Aos irmãos acadêmicos Marcus Bronzi e Fernando Micena, pelo direcionamento durante os meus primeiros passos na teoria de Sistemas Dinâmicos, pelas conversas, pelos seminários, pelas idéias e pela agradável caminhada. Meus amigos muito obrigado gostaria de enfatizar aqui, que muito devo a vocês.
Given an one-dimensional Lorenz-like expanding map we prove that the condition P top (φ, ∂P, ℓ) < P top (φ, ℓ) (see, subsection 2.4 for definition), introduced by Buzzi and Sarig in ([1]) is satisfied for all continuous potentials φ : [0, 1] −→ R. We apply this to prove that quasi-H öldercontinuous potentials (see, subsection 2.2 for definition) have at most one equilibrium measure and we construct a family of continuous but not H ölder and neither weak H ölder continuous potentials for which we observe phase transitions. Indeed, this class includes all H ölder and weak-H ölder continuous potentials and form an open and dense subset of C([0, 1], R), with the usual C 0 topology. This give a certain generalization of the results proved in [2].
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