Adhérence faible étoile d'algèbres de fractions rationnelles Annales de l'institut Fourier, tome 24, n o 4 (1974), p. 93-120 © Annales de l'institut Fourier, 1974, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Annales de l'institut Fourier » (http://annalif.ujf-grenoble.fr/) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Ann. Inst. Fourier, Grenoble 24, 4 (1974), 93-120. ADHÉRENCE FAIBLE ÉTOILE D'ALGÈBRES DE FRACTIONS RATIONNELLES par Jacques CHAUMAT Introduction. Étant donnés un compact K du plan complexe C et une mesure (JL non nulle sur K, on se propose de décrire dans ce papier H 00^) : adhérence faible étoile [i.e. adhérence pour la topologie ^W, L^)]] dans L"^) de l'algèbre R(K) des limites uniformes sur K de suites de fractions rationnelles d'une variable complexe à pôles hors de K. Plus précisément on montrera, entre autres choses, les résultats suivants : Résultat 1.-Pour toute mesure (JL non nulle, orthogonale à R(K), il existe un sous-ensemble Eu. de C non vide, mesurable Lebesgue tel que H°°((JL) soit isométriquement isomorphe à H°°(ÀE) où XE désigne la restriction à Eu. de la mesure de Lebesgue plane X. Résultat 2.-Pour toute mesure (JL non nulle sur K, il existe un sous-ensemble E^ de C éventuellement vide, mesurable Lebesgue, et une mesure (JL, absolument continue par rapport à p. éventuellement nulle tels que H°°((JL) soit isométriquement isomorphe à H^XE^) © L°°((A,). Résultat 3.-Si R(K) est une algèbre de Dirichlet sur la frontière topologique de K, pour toute mesure non nulle sur K il existe un ouvert de C, Eu., éventuellement vide et une mesure (A, absolument continue par rapport à (JL éventuel-5 94 J. CHAUMAT lement nulle tels que H°°((JL) soit isométriquement isomorphe à H^E^) C L'di,), où H^E^) désigne l'algèbre des fonctions analytiques et bornées dans E«. Le point de départ de cette étude est contenu dans un théorème de L. Brown, A. Shieids et K. Zeller [Bg théorème 3] qui donne en substance le résultat suivant : Si K est le disque unité D === {z e G : |z[ ^ 1} et (A est une mesure portée par une suite {a,i}n6N ^e points de D = {z e G : |zj < 1} vérifiant lim |aJ == 1, H^) est n->-+-oo isométriquement isomorphe à H^D) si et seulement si pour toute fonction f de H°°(D) on a: sup \f(