Рассматривается интегрируемый случай Ковалевской-Яхья в динамике гиростата. Представлен новый подход к классификации бифуркационных диаграмм приведенных систем. Получены конструктивно проверяемые условия существования критических движений на сечении фиксированной постоянной площадей поверхностей, несущих бифуркационную диаграмму трех интегралов полной исходной си-стемы. Случаи, когда эти условия претерпевают качественные перестройки, дают аналитические зави-симости между постоянной площадей и величиной гиростатического момента, формирующие разделя-ющее множество в плоскости двух параметров семейства диаграмм приведенных систем. В результате создана компьютерная система, удовлетворяющая введенному понятию электронного атласа.Ключевые слова: интегрируемые гамильтоновы системы, бифуркационная диаграмма, электронный ат-лас. ВведениеСлучаем Ковалевской-Яхья называют задачу о движении тяжелого гиростата, главные мо-менты инерции которого удовлетворяют отношению 2:2:1, центр масс лежит в экваториальной плоскости, а гиростатический момент направлен по оси динамической симметрии. Подходящим выбором осей и единиц измерения уравнения движения приводятся к виду 2ω 1 = ω 2 (ω 3 − λ), 2ω 2 = −ω 1 (ω 3 − λ) − α 3 ,ω 3 = α 2 , α 1 = α 2 ω 3 − α 3 ω 2 ,α 2 = α 3 ω 1 − α 1 ω 3 ,α 3 = α 1 ω 2 − α 2 ω 1 ,где λ > 0 . Фазовое пространство P 5 = R 3 ω ×S 2 α определено в R 6 геометрическим интегралом α 2 = 1 . Частные решения системы (1), формирующие трехмерные подмногообразия, были получены в работах [1,2]. Х. М. Яхья указал, в дополнение к классическим интегралам энергии и площадей, новый интеграл типа Ковалевской, получив полную инволютивную систему [3] H = ω 2 1 + ω 2 2 + 1 2 ω 2 3 − α 1 , L = ω 1 α 1 + ω 2 α 2 + 1 2 (ω 3 + λ)α 3 , K = (ω 2 1 − ω 2 2 + α 1 ) 2 + (2ω 1 ω 2 + α 2 ) 2 + 2λ[(ω 3 − λ)(ω 2 1 + ω 2 2 ) + 2ω 1 α 3 ].Исследование множества критических точек интегрального отображенияначато в [4,5,6] и завершено в работах [7,8]. Как оказалось, это множество исчерпывается решениями П. В. Харламова. В [7,8] получены уравнения бифуркационных поверхностей, то есть связных поверхностей Π j в R 3 (h, k, ℓ) , объединение которых Π содержит в себе бифур-кационную диаграмму Σ интегралов H, K, L как собственное подмножество. Здесь и далее постоянные первых интегралов обозначаются строчными буквами, соответствующими обозна-чениям самих интегралов как функций на фазовом пространстве. В работах [9,10,11] исследо-валась эволюция сечений P ℓ , S ℓ множеств Π , Σ плоскостями ℓ = const . Эти сечения имеют 1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и АВО (гранты 10-01-00043, 10-01-97001). является вполне интегрируемой гамильтоновой системой с двумя степенями свободы (и назы-вается обычно приведенной системой). При этом множество S ℓ , рассматриваемое как подмно-жество в плоскости (h, k) , служит бифуркационной диаграммой интегрального отображенияприведенной системы, параметризованной постоянной площадей. В работе [12] указана топология регулярных интегральных многообразий для точек (h, k, ℓ) из связных компонент R 3 \Σ . Все перечисленн...
In the general case the Hamiltonian system with three degrees of freedom describing the motion of a rigid body in two constant forces does not admit any symmetry groups. Yehia (1986 Mech. Res. Commun. 13 169-72) found conditions under which the equations of motion of the Kowalevski-type top have an integral linear in angular velocities in addition to the energy integral. Later it was noticed that such an integral exists for the same force field for any dynamically symmetric top with the center of force applications in the equatorial plane. Thus, the corresponding system is the natural mechanical system with S 1 -symmetry and Smale's program of topological analysis can be fulfilled. Here we construct the bifurcation diagrams of the momentum map for this system and present various types of diagrams depending on one physical parameter.
Due to Poinsot's theorem, the motion of a rigid body about a fixed point is represented as rolling without slipping of the moving hodograph of the angular velocity over the fixed one. If the moving hodograph is a closed curve, visualization of motion is obtained by the method of P.V. Kharlamov. For an arbitrary motion in an integrable problem with an axially symmetric force field the moving hodograph densely fills some two-dimensional surface and the fixed one fills a three-dimensional surface. In this paper, we consider the irreducible integrable case in which both hodographs are two-frequency curves. We obtain the equations of bearing surfaces, illustrate the main types of the surfaces. We propose a method of the so-called non-straight geometric interpretation representing the motion of a body as a superposition of two periodic motions.
scite is a Brooklyn-based organization that helps researchers better discover and understand research articles through Smart Citations–citations that display the context of the citation and describe whether the article provides supporting or contrasting evidence. scite is used by students and researchers from around the world and is funded in part by the National Science Foundation and the National Institute on Drug Abuse of the National Institutes of Health.
hi@scite.ai
10624 S. Eastern Ave., Ste. A-614
Henderson, NV 89052, USA
Copyright © 2024 scite LLC. All rights reserved.
Made with 💙 for researchers
Part of the Research Solutions Family.