The electronic atlas of bifurcation diagrams of the Kowalevski–Yehia gyrostat

Abstract

Рассматривается интегрируемый случай Ковалевской-Яхья в динамике гиростата. Представлен новый подход к классификации бифуркационных диаграмм приведенных систем. Получены конструктивно проверяемые условия существования критических движений на сечении фиксированной постоянной площадей поверхностей, несущих бифуркационную диаграмму трех интегралов полной исходной си-стемы. Случаи, когда эти условия претерпевают качественные перестройки, дают аналитические зави-симости между постоянной площадей и величиной гиростатического момента, формирующие разделя-ющее множество в плоскости двух параметров семейства диаграмм приведенных систем. В результате создана компьютерная система, удовлетворяющая введенному понятию электронного атласа.Ключевые слова: интегрируемые гамильтоновы системы, бифуркационная диаграмма, электронный ат-лас. ВведениеСлучаем Ковалевской-Яхья называют задачу о движении тяжелого гиростата, главные мо-менты инерции которого удовлетворяют отношению 2:2:1, центр масс лежит в экваториальной плоскости, а гиростатический момент направлен по оси динамической симметрии. Подходящим выбором осей и единиц измерения уравнения движения приводятся к виду 2ω 1 = ω 2 (ω 3 − λ), 2ω 2 = −ω 1 (ω 3 − λ) − α 3 ,ω 3 = α 2 , α 1 = α 2 ω 3 − α 3 ω 2 ,α 2 = α 3 ω 1 − α 1 ω 3 ,α 3 = α 1 ω 2 − α 2 ω 1 ,где λ > 0 . Фазовое пространство P 5 = R 3 ω ×S 2 α определено в R 6 геометрическим интегралом α 2 = 1 . Частные решения системы (1), формирующие трехмерные подмногообразия, были получены в работах [1,2]. Х. М. Яхья указал, в дополнение к классическим интегралам энергии и площадей, новый интеграл типа Ковалевской, получив полную инволютивную систему [3] H = ω 2 1 + ω 2 2 + 1 2 ω 2 3 − α 1 , L = ω 1 α 1 + ω 2 α 2 + 1 2 (ω 3 + λ)α 3 , K = (ω 2 1 − ω 2 2 + α 1 ) 2 + (2ω 1 ω 2 + α 2 ) 2 + 2λ[(ω 3 − λ)(ω 2 1 + ω 2 2 ) + 2ω 1 α 3 ].Исследование множества критических точек интегрального отображенияначато в [4,5,6] и завершено в работах [7,8]. Как оказалось, это множество исчерпывается решениями П. В. Харламова. В [7,8] получены уравнения бифуркационных поверхностей, то есть связных поверхностей Π j в R 3 (h, k, ℓ) , объединение которых Π содержит в себе бифур-кационную диаграмму Σ интегралов H, K, L как собственное подмножество. Здесь и далее постоянные первых интегралов обозначаются строчными буквами, соответствующими обозна-чениям самих интегралов как функций на фазовом пространстве. В работах [9,10,11] исследо-валась эволюция сечений P ℓ , S ℓ множеств Π , Σ плоскостями ℓ = const . Эти сечения имеют 1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и АВО (гранты 10-01-00043, 10-01-97001). является вполне интегрируемой гамильтоновой системой с двумя степенями свободы (и назы-вается обычно приведенной системой). При этом множество S ℓ , рассматриваемое как подмно-жество в плоскости (h, k) , служит бифуркационной диаграммой интегрального отображенияприведенной системы, параметризованной постоянной площадей. В работе [12] указана топология регулярных интегральных многообразий для точек (h, k, ℓ) из связных компонент R 3 \Σ . Все перечисленн...

Smale-Fomenko diagrams and rough topological invariants of the Kowalevski-Yehia case

“…The transformations of the diagram for λ > 0 take place at the following values of the parameter: λ * , 1 , λ * , √ 2 . The study of intersections of the curves δ 2 , ∆ 0 gives, in addition to the values found in [3], the separating value λ = 1 . All types of the diagram of the subsystem M 1 are shown in Fig.…”

“…In particular, taking into account the MATHEMATICS 2011. Issue 4 existence conditions for critical motions found in [4,3], for the integral constants s, ℓ, h we get…”

“…The paper deals with the integrable case of Kowalevski -Yehia [1] and continues the articles [2,3], the results of which are used below. In the work [3] one can find the sufficient list of publications devoted to this problem. We study the system of equations…”

“…Here s < 0 for Π 2 and s > 0 for Π 3 . The complete investigation of the conditions defining Σ in this union for all values of the parameters is given in [4,3]. The function L is a Casimir function for the Poisson brackets on P 5 .…”

“…The (S, L) -diagram of the critical subsystem M 1 is obtained from the bifurcation diagram consisting of the curves δ 1 , δ 2 , δ 3 [3] by adding the curves ∆ 0 and ∆ 1 , which are the projections onto the (s, ℓ) -plane of the curves (4), (5). The transformations of the diagram for λ > 0 take place at the following values of the parameter: λ * , 1 , λ * , √ 2 .…”