Resumo: Consideramos, neste trabalho, as propriedades phase-lag e erro de amplificação de um método embutido de Runge-Kutta, denominado algoritmo RK-Butcher [2], para problemas de valor inicial que apresentam soluções oscilatórias e verificamos sua eficiência através de problemas testes. As propriedades de estabilidade deste método para problemas de valor inicial de primeira ordem foram analisadas em [5].Palavras-chave: Equações diferencias ordinárias, métodos de Runge-Kutta, problemas oscilatórios. IntroduçãoNeste trabalho estamos interessados na resolução numérica de problemas de valor inicial de primeira ordem da forma Erros de Dispersão e AmplificaçãoPara examinar as propriedades de estabilidade de métodos numéricos para a resolução de problemas oscilatórios do tipo (1), a equação teste relevanteé dada porcuja solução exataé y(t) = exp (iωt). Um método geral de Runge-Kutta explícito, com s estágios para resolução de problemas de valor inicial de primeira ordem dados pela equação (1)é definido por
RESUMOApresentamos, neste trabalho, uma classe de métodos de Runge-Kutta explícitos com região de estabilidade estendida ao longo do eixo real negativo, denominados na literatura por métodos estabilizados. A motivação para a obtenção destes métodosé a integração de sistemas de equações diferenciais ordinárias originados da discretização espacial de equações diferenciais parciais parabólicas. Uma vantagem destes métodos quando comparados aos métodos implícitosé que não necessitam da solução de sistemas de equações algébricas de grande dimensão e, embora o intervalo real de estabilidade seja finito, e bem maior quando comparado aos dos métodos clássicos de Runge-Kutta explícitos e, portanto, não sofrem restrições de estabilidade muito severas.Consideremos o sistema de equações diferenciais ordinárias, originado da discretização espacial de uma equação diferencial parcial dependente do tempo, da forma:onde y, y 0 ∈ n , t ≥ 0, e os autovalores da matriz Jacobiana, J(t, y) = ∂F ∂y , estão localizados numa faixa longa e estreita ao longo do eixo real negativo.Um método de Runge-Kutta explícito para a solução de (1) tem a forma geral y 0 = y n ,onde c j = j−1 l=0 a jl , h = t n+1 − t n denota o tamanho do passo e y né a aproximação para a solução exata y(t) no tempo t = t n . Um método particularé caracterizado pela escolha dos seus coeficientes, c l e a jl , e pelo número de estágios s.A principal característica dos métodos estabilizadosé que eles possuem intervalo de estabilidade real estendido com comprimento proporcional a s 2 .Para análise da estabilidade dos métodos explícitos dados por (2) consideramos a equação teste [4]:Aplicando, então, o método de Runge-Kutta (2)à equação (3) obtemos y n+1 = [R(z)] n y 0 , onde R(z)é uma função polinomial de grau ≤ s denominada a função de estabilidade do método e z = h λ.Para garantir que {y n } n≥0 permaneça limitada, a condição |R(z)| ≤ 1 deve ser satisfeita e S = {z ∈ C; |R(z)| ≤ 1} e definido como o domínio de estabilidade do método e o métodoé dito absolutamente estável para valores de z ∈ S.
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