Ersetzt man bei den klassischen linearen Differentialgleichungsproblemen der mathematischen Physik die Differentialquotienten dutch Dif[erenzenquotienten in einem --etwa reehtwinklig angenommenen --Gitter, so gelangt man zu algebraischen Problemen yon sehr durehsichtiger Struktur. Die vorliegende Arbeit untersueht nach emer elementaren Diskussion dieser algebraischen Probleme vor allem die Frage, wie sieh die LSsungen verhalten, wenn man die Maschen des Gitters gegen Null streben l~l~t. Dabei beschr~tnken wit uns vielfach auf die einfachsten, aber typischen F~lle, die wir derart behandeln, da6 die Anwendbarkeit der Methoden auf allgemeinere Differenzengleiehungen und solehe mit beliebig vielen unabh~ngigen Ver~nderlichen deutlich wird.Entspreehend den fiir Dif[erentialgleichungen gel~ufigen Fragestellungen behandeln wir Randwert-und Eigenwertprobleme fiir eliiptisehe Differenzengleiehungen und das Anfangswertproblem fiir hyperbolische bzw. parabolischr Differenzengleichungen. Wir werden an einigen ~ipische~ Beispielen beweisen, da6 der Grenziibergang stets m/Aglich ist, n~ch dal~ die L6sungen der Differenzengleichungen gegen die L6sungen der entsprechenden Differentialgleichungsprobleme konvergieren; ja wit werden sogar erkennen, da6 bei elliptischen Gleichungen i.a. die Differenzen-quo~ienten beliebig hoher Ordnung gegen die entsprechenden Differentialquotienten streben. Die L6sbarkeit der Digerentialgleichungsprobleme setzen wit n~rgencls voraus; vielmehr erhalten wir dutch den Grenziibergang hierfiir einen einfachen Beweisl). W~hrend abet beim elliptisehen ~) Unsere Beweismethode l~t sich ohne Schwierigkeit so erweitem, da6 sie bei beliebigen linearen ellip~chen Differen,tm~gleichungen das Rand-und E~enwertproblem und bei beliebigen linearen hyperbolischen Differentialg!eichungen das Anfangswertproblem zu l~sen gestalt.

No abstract

No abstract

BY HANS LEWY THEOREM 1. If u(x, y) and v(x, y) are harmonic, u(0, 0) = v(0> 0) =0, and if there exists a neighborhood Ni of the origin of the xy plane and a neighborhood N 2 of the origin of the uv plane such that u(x, y) and v(x, y) establish a mapping of N\ onto N 2 which is one-to-one both ways, then the Jacobian d(u, v)/d(x, y) does not vanish at the origin.PROOF. AS the statement of Theorem 1 remains invariant under homogeneous linear transformations of the uv plane, we may assume, in the developments in polar coordinates for u and v, that 00 u = ]C [a n r n cos nd + b n r n sin nd], {a? + b? T* 0), i 00

No abstract