�ber die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik

Abstract

Ersetzt man bei den klassischen linearen Differentialgleichungsproblemen der mathematischen Physik die Differentialquotienten dutch Dif[erenzenquotienten in einem --etwa reehtwinklig angenommenen --Gitter, so gelangt man zu algebraischen Problemen yon sehr durehsichtiger Struktur. Die vorliegende Arbeit untersueht nach emer elementaren Diskussion dieser algebraischen Probleme vor allem die Frage, wie sieh die LSsungen verhalten, wenn man die Maschen des Gitters gegen Null streben l~l~t. Dabei beschr~tnken wit uns vielfach auf die einfachsten, aber typischen F~lle, die wir derart behandeln, da6 die Anwendbarkeit der Methoden auf allgemeinere Differenzengleiehungen und solehe mit beliebig vielen unabh~ngigen Ver~nderlichen deutlich wird.Entspreehend den fiir Dif[erentialgleichungen gel~ufigen Fragestellungen behandeln wir Randwert-und Eigenwertprobleme fiir eliiptisehe Differenzengleiehungen und das Anfangswertproblem fiir hyperbolische bzw. parabolischr Differenzengleichungen. Wir werden an einigen ~ipische~ Beispielen beweisen, da6 der Grenziibergang stets m/Aglich ist, n~ch dal~ die L6sungen der Differenzengleichungen gegen die L6sungen der entsprechenden Differentialgleichungsprobleme konvergieren; ja wit werden sogar erkennen, da6 bei elliptischen Gleichungen i.a. die Differenzen-quo~ienten beliebig hoher Ordnung gegen die entsprechenden Differentialquotienten streben. Die L6sbarkeit der Digerentialgleichungsprobleme setzen wit n~rgencls voraus; vielmehr erhalten wir dutch den Grenziibergang hierfiir einen einfachen Beweisl). W~hrend abet beim elliptisehen ~) Unsere Beweismethode l~t sich ohne Schwierigkeit so erweitem, da6 sie bei beliebigen linearen ellip~chen Differen,tm~gleichungen das Rand-und E~enwertproblem und bei beliebigen linearen hyperbolischen Differentialg!eichungen das Anfangswertproblem zu l~sen gestalt.

Verification of cardiac tissue electrophysiology simulators using an N -version benchmark

“…This is expected based on the Courant-FriedrichsLewy condition [26,50], which gives a maximum time step of 0.046 ms with Dx = 0.1 mm or a minimum spatial resolution of 0.104 mm with Dt = 0.05 ms, with the benchmark model parameters. Further analysis by finite difference codes D, G and K are consistent with this analysis, with the model solving for Dt = 0.04 ms but not 0.05 ms in all three codes.…”

Higher-order Source-wavefield Reconstruction for Reverse-time Migration from Stored Values in a Boundary Strip Just One Point Wide

“…The Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) condition (Courant et al, 1928) limits the numerical time step Δt. Zhebel et al (2014), e.g., provide expressions for arbitrary spatial orders with secondorder time stepping.…”

Numerical Discretization of Coupling Conditions by High-Order Schemes

“…is the interface point (between cell i − 1 and i, for x i+ 1 2 = x i+1− 1 2 analog) and time step ∆t = t m+1 − t m , chosen so that the CFL condition [19] λ max ∆t ≤ ∆x, where λ max is the largest wave speed, is satisfied. We assume the grid points are labeled by i ∈ N 0 and the time steps by m ∈ N 0 such that x 0 = ∆x 2 and t 0 = 0.…”

“…This enables us to determine v j (t m ) according to (16). In order to obtain ∂ t v j (t m ), we solve equation (19) with R j = (r 1 (v j (t m )), r 2 (v j (t m ))) . For the second component we note that…”