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We study the dynamics of the center of mass (CM) of a set of particles when the number of particles in the system varies during a short interval of time, or when the value of the mass of one of the particles depends on time. We show that in both situations, while the population or mass of the system varies, the linear momentum of the CM differs from the total linear momentum of the system. During this time interval, the dynamics of the CM is driven by the external forces that act on the system plus transient forces that depend on the position and velocity of the CM. This dynamics is applied to study the time evolution of the vector position of the CM of a system of free particles moving on an air rail in which the mass of one the particles varies in a short time interval. We want to show it to students that with the knowledge and tools they have at an elementary Mechanics course they can formulate and answer questions which are not in the textbooks.

We provide further evidence that the canonical quantization of cosmological models eliminates the classical Big Bang singularity, using the {\it DeBroglie-Bohm} interpretation of quantum mechanics. The usual criterion for absence of the Big Bang singularity in Friedmann-Robertson-Walker quantum cosmological models is the non-vanishing of the expectation value of the scale factor. We compute the `local expectation value' of the Ricci and Kretschmann scalars, for some quantum FRW models. We show that they are finite for all time. Since these scalars are elements of general scalar polynomials in the metric and the Riemann tensor, this result indicates that, for the quantum models treated here, the `local expectation value' of these general scalar polynomials should be finite everywhere. Therefore, we have further evidence that the quantization of the models treated here eliminates the classical Big Bang singularity. PACS: 04.40.Nr, 04.60.Ds, 98.80.Qc.Comment: 9 pages, 6 figure

Um pêndulo duplo submetido a torques externosé usado para introduzir alguns fundamentos da teoria de Sistemas Dinâmicos para os cursos de graduação em Física, logo após o aluno ter cursado a disciplina de mecânica analítica. Este sistema mostra-se um bom exemplo para a introdução de tais técnicas. As equações de movimento de Hamilton indicam a existência de soluções estacionárias (pontos de equilíbrio) no espaço de fase do modelo. A identificação da natureza desses pontos de equilíbrio permite a descrição da dinâmica do sistema na vizinhança linear destes. Além disso, os resultados obtidos na vizinhança linear de um ponto de equilíbrio não são alterados pela introdução de torques externos constantes não-nulos. Neste trabalho enfatiza-se a análise da vizinhança linear dos pontos de equilíbrio. Palavras-chave: sistemas hamiltonianos, teoria de sistemas dinâmicos, caos.A double pendulum submitted to external torques is employed to introduce some basic fundamentals of dynamical systems theory to physics undergraduate courses, soon after the student takes the analytical mechanics discipline. This system is a good example for the introduction of such techniques. Hamilton's equations of motion indicate the existence of stationary solutions (equilibrium points) in the phase space of the model. The identification of the nature of these points allows the description of the system dynamics around their linear neighborhood. Moreover, qualitative results obtained in the linear neighborhood of a fixed point are not changed by the introduction of non-vanishing constant external torques. This work emphasizes the analysis of the linear neighborhood of the equilibrium points. Keywords: hamiltonian systems, dynamical systems theory, chaos. IntroduçãoNo decorrer dos cursos de graduação em Física, o estudante de bacharelado se depara com um grande número de teorias destinadas a explicar diferentes fenômenos, muitos dos quais descritos por sistemas de equações diferenciais. Para isso torna-se necessário o uso de diversos métodos matemáticos que possibilitem solucionar os problemas oriundos da complexidade destas equações. Além disso, existem determinados sistemas que apresentam uma grande sensibilidade a mudança nas condições iniciais. Em outras palavras, uma pequena mudança no estado inicial do sistema, leva a diferentes configurações após um certo intervalo de tempo, conforme observado primeiramente [1] por Poincaré em 1903. Dizemos então que tais sistemas são caóticos. Como exemplos de sistemas com tal comportamento podemos citar: sistemas de três corpos; osciladores bidimensionais forçados; modelos cosmológicos de Friedmann-Robertson-Walker; pêndulo com mola; pêndulo duplo no plano e muitos outros. A representação de muitos destes sistemas pode ser feita através do formalismo Hamiltoniano. E por esse motivo daremosênfase aos sistemas Hamiltonianos.Para sistemas que apresentam esse tipo de comportamento, o uso de técnicas de sistemas dinâmicos [2, 3] na descrição do comportamento regular/caótico do sistema tem se mostrado de grand...

In the present letter, we consider the DeBroglie-Bohm interpretation of quantum Friedmann-Robertson-Walker models in the presence of a negative cosmological constant and cosmic strings. We compute the Bohm's trajectories and quantum potentials for a quantity related to the scale factor. Then, we compare our results with the ones already in the literature, where the many worlds interpretation of the same models was used.Comment: Elsevier Macro, 12 pages, 3 eps figure

We calculate the thermodynamics of the one-dimensional spin-1/2 Ising model in the presence of a constant skew magnetic field. We obtain the high-temperature expansion of its Helmholtz free energy (HFE), for the ferromagnetic and antiferromagnetic cases, up to order β 7 . This expansion permits us to obtain the behaviour of the model for |J|β < ∼ 1, when it cannot be described by its classical version. Among the calculated thermodynamical functions of the model, we have the diagonal elements of the magnetic susceptibility tensor for the transverse and logitudinal Ising models, obtained by taking the limits h z → 0 and h y → 0, respectively, of the β-expansion of the HFE. The y-component of the magnetization and the χ yy component of the magnetic susceptibility tensor are almost the same for the antiferro-and ferromagnetic models, at least for |J|β < ∼ 1; and, χ yy is practically independent of the direction of the external magnetic. We also show that, in this region of temperature, the thermodynamics of the Ising model with skew magnetic field and that of an XXZ model with longitudinal magnetic field are not similar.

Apresentamos o método espectral de Galerkin como uma ferramenta para a quantização de sistemas hamiltonianos. Este método pode ser introduzido como um tópico em uma disciplina de introdução à mecânica quântica em um curso de graduação em física. Comparado ao método de diferenças finitas, o método espectral possibilita precisão muito maior, além de fornecer expressões analíticas aproximadas para as autofunções de energia, e é suficientemente simples para ser exposto em cerca de quatro horas-aula. No presente trabalho, apresentamos o método em detalhe, aplicando-o à equação de Schrödinger para o oscilador harmônico simples e para o oscilador harmônico quártico. A precisão dos resultados é comparada aos fornecidos pelo método de diferenças finitas.

Propomos a introdução do método de diferenças finitas como tópico a ser abordado na disciplina de mecânica quântica de um curso de graduação em física. O métodoé suficientemente simples para ser introduzido e exemplificado em seis horas de aula, permitindo a obtenção de resultados tanto qualitativamente corretos como de alta precisão quantitativa. Devido a sua grande aplicabilidade, seu entendimento por parte dos alunos de graduação em física, futuros pesquisadores,é essencial para a formação acadêmica destes. No presente trabalho, apresentamos o método em detalhes. Sua precisãoé verificada calculando o espectro de energia para o oscilador harmônico e comparando-os com os resultados analíticos conhecidos. Em seguida aplicamos o método a dois outros sistemas, o oscilador anarmônico quártico e o potencial linear. Para cada um destes sistemas, calculamos os dez níveis de energia mais baixos, bem como seus respectivos auto-estados. Palavras-chave: quantização de sistemas hamiltonianos, diferenças finitas.We propose the introduction of the finite differences method as one topic to be inserted in the discipline of quantum mechanics in a physics undergraduate course. The method is simple enough to be introduced and exemplified in about six hours of class allowing both qualitatively correct and high-precision quantitative results. Due to the great applicability of the method, it is essential that the undergraduate students, future researchers, learn it. In the present work, we show the method in detail and verify its precision initially by calculating the energy spectrum of the harmonic oscillator and comparing it to its well-known analytical results. Then we apply it to two other systems, the anharmonic oscillator and the one with linear potential. For each of those systems We compute, for both systems, the ten lowest energy eigenvalues are calculated, as well as their corresponding eigenfunctions.