IntroductionSoit G un groupe algébrique réductif connexe (le corps de base k étant algébriquement clos et de caractéristique nulle). Soient B un sous-groupe de Borel de G, et T un tore maximal de B. 0.1 Une G-variété algébrique X est appelée sphérique si elle est normale et si B a une orbite dense dans X. Un sous-groupe algébrique H de G est dit sphérique si l'espace homogène G/H est sphérique.Si G = B = T est un tore, les variétés sphériques ne sont rien d'autre que les variétés toriques (i.e. les T-variétés algébriques normales dans lesquelles T a une orbite dense). Il est bien connu que ces dernières se laissent décrire de façon combinatoire (voir par exemple [Fu]). Rappelons brièvement comment. Notons Ξ(T) le groupe de caractères de T. Soit X une T-variété torique. Un premier invariant associé à X est le sous-groupe Ξ X de Ξ(T) formé des poids de T dans k(X) (le corps des fonctions rationnelles sur X). Cet invariant détermine l'orbite dense de T dans X. L'invariant plus fin qui détermine X est un certain objet combinatoire appelé « éventail », qui « vit » dans le Q-espace vectoriel N X = Hom Z (Ξ X , Q). Tout sous-groupe Ξ de Ξ(T), et tout éventail dans N = Hom Z (Ξ, Q) provient d'une (unique) T-variété torique.Il est naturel de vouloir généraliser ce qui précède aux variétés sphériques. C'est ce qu'on accomplira dans ce travail, dans le cas où le groupe adjoint de G est de type A, c'est-à-dire est un produit de groupes PGL.Voici un premier aperçu de nos résultats (pour les énoncés précis, voir §2). Le groupe G est bien sûr déterminé par son système des racines et le réseau Ξ(B). Un premier invariant associé à une G-variété sphérique X est ici le sous-groupe Ξ X de Ξ(B), formé des poids de B dans k(X). Mais dans le contexte sphérique, cet invariant ne caractérise plus l'orbite dense X • G de G dans X. Quelle « donnée sphérique » faut-il adjoindre à Ξ X pour déterminer X • G ? Le principal objectif de ce travail consiste à répondre à cette question (voir §2). La théorie des plongements des espaces homogènes sphériques ([Kn1], [Br6]) fournit alors les invariants plus fins déterminant X, les « éventails coloriés », qui vivent dans le Q-espace vectoriel « colorié » N X = Hom Z (Ξ X , Q). Ici aussi, tout sous-groupe Ξ de Ξ(B) muni d'une donnée sphérique, et tout éventail colorié dans N = Hom Z (Ξ, Q) provient d'une (unique) Gvariété sphérique.( 1 ) Le rang d'une variété sphérique X est par définition celui du groupe abélien libre Ξ X défini ci-dessus.
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