Variétés sphériques de type A

Abstract

IntroductionSoit G un groupe algébrique réductif connexe (le corps de base k étant algébriquement clos et de caractéristique nulle). Soient B un sous-groupe de Borel de G, et T un tore maximal de B. 0.1 Une G-variété algébrique X est appelée sphérique si elle est normale et si B a une orbite dense dans X. Un sous-groupe algébrique H de G est dit sphérique si l'espace homogène G/H est sphérique.Si G = B = T est un tore, les variétés sphériques ne sont rien d'autre que les variétés toriques (i.e. les T-variétés algébriques normales dans lesquelles T a une orbite dense). Il est bien connu que ces dernières se laissent décrire de façon combinatoire (voir par exemple [Fu]). Rappelons brièvement comment. Notons Ξ(T) le groupe de caractères de T. Soit X une T-variété torique. Un premier invariant associé à X est le sous-groupe Ξ X de Ξ(T) formé des poids de T dans k(X) (le corps des fonctions rationnelles sur X). Cet invariant détermine l'orbite dense de T dans X. L'invariant plus fin qui détermine X est un certain objet combinatoire appelé « éventail », qui « vit » dans le Q-espace vectoriel N X = Hom Z (Ξ X , Q). Tout sous-groupe Ξ de Ξ(T), et tout éventail dans N = Hom Z (Ξ, Q) provient d'une (unique) T-variété torique.Il est naturel de vouloir généraliser ce qui précède aux variétés sphériques. C'est ce qu'on accomplira dans ce travail, dans le cas où le groupe adjoint de G est de type A, c'est-à-dire est un produit de groupes PGL.Voici un premier aperçu de nos résultats (pour les énoncés précis, voir §2). Le groupe G est bien sûr déterminé par son système des racines et le réseau Ξ(B). Un premier invariant associé à une G-variété sphérique X est ici le sous-groupe Ξ X de Ξ(B), formé des poids de B dans k(X). Mais dans le contexte sphérique, cet invariant ne caractérise plus l'orbite dense X • G de G dans X. Quelle « donnée sphérique » faut-il adjoindre à Ξ X pour déterminer X • G ? Le principal objectif de ce travail consiste à répondre à cette question (voir §2). La théorie des plongements des espaces homogènes sphériques ([Kn1], [Br6]) fournit alors les invariants plus fins déterminant X, les « éventails coloriés », qui vivent dans le Q-espace vectoriel « colorié » N X = Hom Z (Ξ X , Q). Ici aussi, tout sous-groupe Ξ de Ξ(B) muni d'une donnée sphérique, et tout éventail colorié dans N = Hom Z (Ξ, Q) provient d'une (unique) Gvariété sphérique.( 1 ) Le rang d'une variété sphérique X est par définition celui du groupe abélien libre Ξ X défini ci-dessus.

Untitled

“…In this preprint, under certain restrictions, all such subgroups were described in the following sense: with each subgroup one associates a set of combinatorial data that uniquely determines this subgroup, and then one classifies all sets that can appear in this way. In 2001 Luna [6] created a theory of spherical systems and, using this theory, described (in the same sense) all spherical subgroups in semisimple groups of type A. During the following several years Luna's approach was applied successfully by Bravi and Pezzini to certain other types of semisimple groups, including all the classical groups (for details, the reader is referred to the paper [7] and its bibliography).…”

Automorphisms of wonderful varieties

“…It is worth noticing that these invariants obey some rather strict conditions of combinatorial nature, as discussed by Luna in [Lu01]. In the rest of this paper we will sometimes use these conditions, although it will not be necessary to recall all the combinatorics that arises from the theory.…”

“…Subvarieties, products and parabolic inductions. Definitions and results in this subsection are a part of Luna's theory developed in [Lu01]: we will omit here all the proofs. Let X be a wonderful G-variety of rank r, and consider a G-stable irreducible closed subvariety Y of codimension k. Any such Y is always wonderful, and equal to the intersection of k border prime divisors of X:…”

“…In [Lu01] the induced maps f {δ} were studied in details in the case where δ ∈ A(G, X) and where G has only components of type A: it was called a projective fibration. Without these restrictions on δ and G the analysis of loc.cit.…”

Wonderful varieties of type 𝖤

“…Let G be a connected semisimple algebraic group over C. In [Lu1] D. Luna associates to a wonderful G-variety a combinatorial invariant called spherical system. He proves that if G is adjoint of type A, then wonderful G-varieties are classified by means of their spherical systems, and he conjectures that this holds for all types.…”