We consider a system of partial differential equations modeling tumors. The system under consideration describes the spatial dynamics of the tumor cells, extracellular matrix, and matrix degrading enzymes. We first carry out a complete group classification of the Lie point symmetries of this model. Next, we use symmetry techniques to construct invariant solutions for it. In addition, we consider a second system of partial differential equations, coupling to the original one the concentration of oxygen, and we find several analytical solutions to this system. Most of the solutions are biologically relevant and consistent with the evolution of such tumors.
Resumo. Neste trabalho foi estudado, do ponto de vista de simetrias de Lie, um modelo matemático para invasão tumoral. O modelo contínuo consiste de um sistema não-linear de equações diferenciais parciais que descreve a dinâmica de interações entre a densidade de células tumorais, a densidade da matriz extracelular e a concentração de enzimas degradantes da matriz. Soluções particulares do modelo foram obtidas por meio da aplicação da técnica de simetrias de Lie.
Infectious diseases affect prey populations, and predators choosing susceptible prey may lead to the extinction of the prey population. We propose a mathematical model of prey–predator interaction with the prey population divided into two classes: susceptible and infected. The susceptible prey subpopulation becomes infected by direct contact with the infected prey subpopulation, and the predator consumes only susceptible prey. An analysis of the model enabled the establishment of thresholds for the spread of disease in the absence and presence of predators. In the absence of predators, we obtain the classic basic reproduction number ℜ0, and in the presence of predators, we obtain a new threshold ℜ0P, which measures the effect of predators in the disease spread. Furthermore, these thresholds establish conditions for the existence and stability of biologically viable equilibrium points. Using numerical simulations, we determined the different biological characteristics of the model and illustrated the analytical results.
Resumo. Doenças infecciosas acometem populações de presas e a escolha predatória de presas suscetíveis pode levá-laà extinção. Propusemos e analisamos um modelo matemático de interação presa -predador, com a população de presas dividida em duas classes: suscetíveis e infectadas. A subpopulação de presas suscetíveis, torna -se infectada por contato direto com a subpopulação de presas infectadas e o predador consome somente as presas suscetíveis. A análise do modelo permitiu estabelecer limiares para a propagação da doença na ausência bem como na presença de predadores, além de condições de existência e estabilidade dos pontos de equilíbrio biologicamente viáveis.Palavras-chave. Interação presa-predador, Predação doença-seletiva, Infecção por contato. IntroduçãoA dinâmica de uma doença em uma populaçãoé influenciada pelas interações com outras espécies dentro da comunidade ecológica. Dentre as interações a predação pode reduzir drasticamente o tamanho da população de presas e uma doença pode, eventualmente, conduzi-laà extinção. Por outro lado, a predação pode regular surtos patogênicos na população de presas. Dessa forma, tanto a doença quanto a predação pode ser reguladora de uma população de presas. Portanto, a compreensão da incidência e prevalência de uma doença, em um sistema de interação presa-predador, requer a compreenção e integração dos princípios de epidemiologia de doenças infecciosas e de ecologia de comunidades.O que aqui propomosé a modelagem da dinâmica populacional de um sistema de interação presa-predador, com presas acometidas por uma doença infecciosa e predador com capacidade de identificar as presas infectadas e evitar deliberadamente o seu consumo, fenômeno denominado predação doença-seletiva [1,4,6]. Modelo Matemático de Predação Doença-SeletivaPara a elaboração do modelo matemático consideramos que durante o processo o meio ambiente não muda a favor de uma espécie e a doençaé transmitida apenas entre presas. Para a população de presas assumimos como em [1] o seguinte:
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