We study equilibrium states and bifurcations of periodic solutions from the equilibrium state of the Ikeda delay-differential equation well known in nonlinear optics. This equation was proposed as a mathematical model of a passive optical resonator in a nonlinear environment. The equation, written in a characteristic time scale, contains a small parameter at the derivative, which makes it singular. It is shown that the behavior of solutions of the equation with initial conditions from the fixed neighborhood of the equilibrium state in the phase space of the equation is described by a countable system of nonlinear ordinary differential equations. This system of equations has a minimal structure and is called the normal form of the equation in the neighborhood of the equilibrium state. The system of equations allows us to pick out one "fast" and a countable number of "slow" variables and apply the averaging method to the system obtained. It is shown that the equilibrium states of a system of averaged equations with "slow" variables correspond to periodic solutions of the same type of stability. The possibility of simultaneous bifurcation of a large number of stable periodic solutions(multistability bifurcation) is shown. With further increase in the bifurcation parameter each of the periodic solutions becomes a chaotic attractor through a series of period-doubling bifurcations. Thus, the behavior of the solutions of the Ikeda equation is characterized by chaotic multistability.

No abstract

One of the special cases is associated with the formation of paired equilibrium states (a stable and an unstable one). An analysis of bifurcations in this case provides an explanation of the formation of the "boiling points of trajectories", when a periodic solution arises "out of nothing" at some point in the phase space under changes of the parameters of the equation and quickly becomes chaotic.

получена 20 мая 2014Ключевые слова: квазиполином, метод D-разбиений, асимптотическое представление В работе изучается расположение нулей двух характеристических квази-полиномов, возникающих при изучении дифференциальных уравнений с за-паздывающим аргументом: первый при изучении математической модели генератора электромагнитных колебаний с запаздывающей обратной связью, второй при изучении системы уравнений Ланга-Кобаяши, которая являет-ся известной математической моделью квантового генератора. Для квазиполи-номов построена картина D-разбиений в пространстве параметров, выявлены возможные критические случаи. Рассмотрен случай большого запаздывания, который важен для приложений. В этом случае для нулей квазиполиномов получены аналитические зависимости от величины, обратной запаздыванию, и построены равномерные асимптотические формулы. Рассмотрим квазиполином видаи изучим расположение его нулей на комплексной плоскости. Воспользуемся для этого методом D-разбиений [1], позволяющим построить в плоскости параметров (k, θ) (при различных значениях A) области, связанные с принадлежностью опре-деленного количества нулей квазиполинома (1) правой комплексной полуплоскости. Рассмотрим для этого уравнение P 1 (iω) = 0 (ω ≥ 0) и выделим действительную и мнимую части. В результате получим систему уравнений k cos(ωθ) = ω 2 − 1, k sin(ωθ) = Aω, из которой находим 1 Работа выполнена при финансовой поддержке проекта 1875 госзадания на НИР №2014/258. 74