On the Location of Some Characteristic Quasipolinomial Roots

Abstract

получена 20 мая 2014Ключевые слова: квазиполином, метод D-разбиений, асимптотическое представление В работе изучается расположение нулей двух характеристических квази-полиномов, возникающих при изучении дифференциальных уравнений с за-паздывающим аргументом: первый при изучении математической модели генератора электромагнитных колебаний с запаздывающей обратной связью, второй при изучении системы уравнений Ланга-Кобаяши, которая являет-ся известной математической моделью квантового генератора. Для квазиполи-номов построена картина D-разбиений в пространстве параметров, выявлены возможные критические случаи. Рассмотрен случай большого запаздывания, который важен для приложений. В этом случае для нулей квазиполиномов получены аналитические зависимости от величины, обратной запаздыванию, и построены равномерные асимптотические формулы. Рассмотрим квазиполином видаи изучим расположение его нулей на комплексной плоскости. Воспользуемся для этого методом D-разбиений [1], позволяющим построить в плоскости параметров (k, θ) (при различных значениях A) области, связанные с принадлежностью опре-деленного количества нулей квазиполинома (1) правой комплексной полуплоскости. Рассмотрим для этого уравнение P 1 (iω) = 0 (ω ≥ 0) и выделим действительную и мнимую части. В результате получим систему уравнений k cos(ωθ) = ω 2 − 1, k sin(ωθ) = Aω, из которой находим 1 Работа выполнена при финансовой поддержке проекта 1875 госзадания на НИР №2014/258. 74