d(X U --= w =dt r betragt. Die Lage des fUr die Berechnungen gtiltigen Bezugssystems ist aus Bild 1 ersichtlich. Die z-Achse steht im Ursprung senkrecht auf der Zeichenebene und bildet mit der x-Achse die Walzebene. Als Walzgut sei eine ebene Schicht gewahlt, die an der Einlaufstelle bei x = I, festgelegt durch den Greifwinkel (Xo, die Hohe h o , an der Auslaufstelle bei Lagebeziehungen Den Betrachtungen wird ein Walzspalt zugrunde gelegt, der durch zwei unendlich lange, kreiszylindrische Walzen vom Radius r im Abstand~gebildet wird. Die Walzen fUhren eine erzwungene Drehbewegung mit der Umfangsgeschwindigkeit U urn die ortsfesten Achsen Al und A 2 aus, so daB fUr die Winkelkoordinate (X die Winkelgeschwindigkeit derWalzen die Untersuchung des Spannungszustandes im Walzspalt einige Ergebnisse liefern. Radiographische Untersuchungen von W. Gtin th er ") die an Aluminium-Nickel-Legierungen durchgefUhrt wurden, haben ergeben, daB sich die stengelformigen Kristalle beim Walzvorgang in die Walzrichtung einregeln. Dabei nimmt die Ausrichtung mit der Stichabnahme zu, so daB die der Theorie zugrunde liegende Vorstellung laminaren Abgleitens des Walzgutes unter gleichzeitigem Auftreten von Schubspannungen durch diese Versuchsergebnisse gesttitzt wird. Wenn auch die strenge Proportionalitat zwischen dem Geschwindigkeitsgradienten und der Schubspannung, von der die Theorie ausgeht, nicht in vollem Umfange erftillt ist, so sind doch Ergebnisse zu erwarten, die mit der experimentellen Erfahrung im Einklang stehen. Die fur die Beschreibung des Walzvorganges wichtige GroBe des Formanderungswiderstandes kist auBer von den geometrisch gegebenen Walzparametern von der Walzenumfangsgeschwindigkeit U abhangig, Ftir den Grenztibergang U -+ 0 nimmt der Formanderungswiderstand k einen festen, vom Walzgut abhangigen Wert k t an, der als FlieBspannung bezeichnet werden solI. Ein Walzgut, das unter dieser Spannung k t steht, soll als zahflussig angesehen und den hydrodynamischen Gesetzen unterworfen werden. Es ist daher nieht zulassig, die Formanderungsfestigkeit, die im Schrifttum ebenfalls mit k t bezeichnet wird, mit der FlieBspannung gleichzusetzen. Die FlieBspannung k t ist vielmehr als eine im ganzen Walzspalt allein den Zustand des Walzgutes beschreibende GroBe anzusehen, deren Wert durch Messung des Formanderungswiderstandes bei Walzversuchen ermittelt werden kann.In der vorliegenden Arbeit werden die frtiher vom Ver-Iasser-") angegebenen Gedankengange in einer analytisch der Praxis angepaBten Form und mit wesentlichen Erweiterungen dargelegt.

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in Dresden.ie Bewegung von Wirbeln in einem ebenen, einfacli zusanimenhiingenden Flussigkeits-D gebiete kann zweckmafiig durcli die K i r c I1 h o f f sche B a h n f 11 n k t i o n I ) beschrieben werden. Fur die Gescliwindigkeitskomponenten des liten U'irbels mit der Zirkulation rk an der Stelle (q, b k ) mussen dann, wenn l2 (a, h, . . ( I , , b,l) die H:ilinfunktion sein eoll, die Beziehungen rlk d ( i k l2 G ' d t = 3 11, a $2 I;, r l b , 2 n r l t a (I\< gelten. Hieraus erkennt inan im Falle eines einzigen Wirlwls I' an der Stelle (a, 11) iii D ( ( 1 , b) = const die Wirbelhahn. Die folgenden Untcrsuchungen erstrecken sicli auf die Ituhelagen eines einzelnen Wirbels und eines symnetrisclien Wirbelpaares in begrenzten Fliissigkeitsgebieten. wobei besonderes Gewicht auf die Stabilitatskriterien fiir Wirbel in diesen ausgezeichneten Punkten gelegt wird. Uber die Ruhelagen eines Wirbels. Befindet sich in dem Punkte ( ( l o , ! I " ) der Wirbel in Ruhc, so gilt entsprechend (I): Da ll(u, b) = const die Wirbelbahn darstellt, so kennzeichnet sicli ein derartiger Ruhepunkt als siiiguliirer Punkt der Bahn ; die zugehiirigen Tangeiitenriclitungen in (ao, b,,) sind'): J e nachdeni ist der Ruhepunkt Doppelpunkt, R.uckkelirpunkt oder isolierter I'unkt. Um Aussagen iiber die Stabilitiit des Wirbels in eineni Ruhepunkt machen zii kbnnen, verschiebt man den Wirbel aus seiner Gleicligewichtslage imi uneiidlich kleine Strecken u und uncl untersucht, ob dabei seine Entfernung von der Anfangslage klein bleibt. 1st das nur fiir gewisse ausgezeiclinete Stiirungen der Fall, so sol1 der Wirbel in dieseni Punkte als ,,bedingt stabil" bezeicliiiet werden; fallt aber diese Beschrankung fort, SO wird der Wirbel schlechthin als ,,stabil" betrachtet. Ersetzt man in den G1. (1) u. durch no + a und b durch b, + p und entwickelt die rechte Seite von (1) nach den kleinen Grirhen a und p unter Beibehaltuilg nur der ersten Potenzen von a und p, so erhalt man fur die Yerschiebungen die Diff~rentialgleichungen: deren charskteristische GIeichung erfilllt ist fur ~ -. ~~ 1 ) 11. I, n g a l l y : Mnth. 2t.sclir. 10, S. 236, 19'21. H i c r is1 niivli der Ziisntiiiiieiihnng drr K i r c I i I i~~f f s t . I i r n 11tiIili. 1) Die Ableitungen iler Ralinfiinktioii Bind ininier Yiir den R i i l i e r~~~~i k t ZII bildeii. funktion iiiit dcr sog. H o u t hsclieii S t r o n i f u~~k t i n n niisfiilirlii~h dargrlegt.

h b e und S. X a t t h e s (Mit 4 Figuren) Wird ein Hindernis translatorisch angestromt, so kann die Ra.hn eines im AuBengebiet des Hindernisses befindlichen freien Wirbels mit der Wirbelstiirke , LL mit Hilfe der R o u t hschen Fuuktion , y (a, b) fur dieses Gebiet ' ) dargestellt werden. Aus dieser R o u t h schen Stromfunktion, die man immer in derForm: (u, Translationsgeschwindigkeit im a) nnschreiben kann, bestimmen sich die Komponenten der Bahngeschwindigkeit des Wirbels zu:Hieraus aber erkennt man, daf3die Bahn des Wirbels darstellt. Setzt man die Geschwindigkeitskomponenten in (1) gleich Null, so ergibt sich als Ort der Ruhelagen des Wirbels: fa, f o ~ W a , 1vb i =* ,LL=--" A = -?Lo$ -F ( a , b ) = mit den zugeh6rigen Wirbelstarken , % ijber die Stabilitat des P7irbels in einem Ruhepunkte entscheidet die Diskriminante D = x ; ,x,, X b , . 1) A. Kneachke, Ann. d. Phys. [5] 9. S. 905. 1931.

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