Четность В Теории Узлов

Abstract

Четность в теории узловВ работе исследуются теории узлов, обладающие свойством четности перекрестков: каждый перекресток объявляется четным или нечетным со-гласно некоторому наперед заданному правилу. Если это правило удовле-творяет набору простых аксиом, связанных с движениями Рейдемейстера, это приводит к возможности построения простых инвариантов, решающих проблему минимальности, а также инвариантных отображений на множе-стве узлов.Самым главным примером теории узлов с четностью является теория виртуальных узлов. С использованием четности, происходящей из гауссо-вых диаграмм, мы показываем, что даже резкое упрощение теории вир-туальных узлов -теория свободных узлов -допускает простые и глубоко нетривиальные инварианты, что является решением проблемы Тураева, предположившего, что все свободные узлы тривиальны.В работе доказывается, что свободные узлы, вообще говоря, не обра-тимы, и приводятся инварианты, распознающие обратимость свободных узлов.Переход к обычным виртуальным узлам позволяет усиливать извест-ные инварианты (такие, как скобка Кауфмана) посредством соображений, связанных с четностью.Обсуждаются другие примеры теорий узлов с четностью. Библиография: 27 названий.Ключевые слова: узел, зацепление, граф, атом, виртуальный узел, четность, скобка Кауфмана, минимальность. § 1. Введение Как известно со времен К. Гаусса, узел можно кодировать хордовой диаграм-мой с некоторой дополнительной информацией. Рассматривая диаграмму узла как погружение окружности в плоскость и соединяя на окружности хордами те точки, которые имеют одинаковые образы, мы получаем хордовую диаграмму. Гауссовой диаграммой называется хордовая диаграмма, снабженная дополни-тельной информацией: указанием на хорде знака перекрестка (плюс для и минус для ), а также стрелкой, направленной от прообраза дуги, образующей переход, к прообразу дуги, образующей проход.Скажем, что две хорды зацеплены, если концы одной из них лежат в разных компонентах связности множества, полученного удалением из окружности кон-цов другой. Назовем хорду четной, если количество хорд, зацепленных с ней, Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных ис-следований (грант № 07-01-00648) и Аналитической ведомственной целевой программы "Раз-витие научного потенциала высшей школы". четно, и нечетной в противном случае (считается, что хорда не зацеплена са-ма с собой). Далее для хорд a, b будем писать ⟨a, b⟩ = 0 ∈ Z 2 , если a, b не зацеплены, и ⟨a, b⟩ = 1 ∈ Z 2 , если они зацеплены.Как было замечено Гауссом, все хорды гауссовой диаграммы классического узла четные.Движения Рейдемейстера для диаграмм классических узлов естественным образом переписываются на языке гауссовых диаграмм. При этом не всякая гауссова диаграмма реализует классический узел. В частности, к таким нере-ализуемым диаграммам относятся диаграммы, имеющие нечетные хорды.Виртуальный узел (см.[1]) возникает как естественное обобщение класси-ческого узла. Это класс эквивалентности произвольных гауссовых диаграмм по формальным движениями Рейдемейстера. Оказывается, наличие нечетных ...

Четность И Кобордизмы Свободных Узлов

“…Гауссова четность. Мы определим чет-ность для свободных узлов и выявим ее ключевые свойства посредством набора аксиом, следуя [5].…”

“…В работе [4] (полную версию см. в [5]) было положено начало всестороннему изучению свободных узлов; последние представляют собой классы эквивалент-ности оснащенных 4-графов по трем движениям Рейдемейстера. Здесь слово "оснащенный" означает, что у графа в каждой вершине указано, какие ребра являются (формально) противоположными, а движения Рейдемейстера соот-ветствуют стандартным движениям Рейдемейстера для (виртуальных) узлов и хордовых (гауссовых) диаграмм (см.…”

“…Почти одновременно (с интервалом в несколько дней) Э. Гибсон в работе [6] построил другие примеры нетривиальных свободных узлов. Ключевым понятием, ис-пользуемым во многих построениях из [5], [4], [7], является понятие четности, которое позволяет решать многие проблемы в теории свободных узлов, строить новые инварианты виртуальных и свободных узлов, усиливать старые инвари-анты и строить функториальные отображения в теориях узлов, обладающих четностью.…”

Инвариант Зацеплений В Утолщенном Торе

“…Виртуальные узлы представляют собой узлы в утолщенных двумерных поверхностях, рассмотренных с точностью до стабили-зации/дестабилизации. На теорию виртуальных узлов были обобщены многочис-ленные инварианты классических узлов, см., например, [3], в том числе гомоло-гии Хованова, а также различные модификации полинома Александера, связанные с копредставлением Виртингера, см. [4].…”

“…Мы рассматриваем ориентированные зацепления двух и более компонент в утолщенном торе 2 × , где -отрезок. Каждое такое зацепление естественным образом задается своей проекцией на тор 2 , которая в общем положении представляет собой четырехвалентный граф, каждая вершина которого снабжена структурой проход-переход, при этом два графа являются экви-валентными тогда и только тогда, когда один из них получается из другого стан-дартными движениями Рейдемейстера, см., например, [3]. Фиксируем стандартную ориентацию на 2 .…”