Метод Проекции Градиента Для Проксимально Гладкого Множества И Функции С Непрерывным По Липшицу Градиентом

Abstract

Рассматривается задача минимизации невыпуклой функции с непрерывным по Липшицу градиентом на проксимально гладком подмножестве (которое может быть невыпуклым) в конечномерном евклидовом пространстве. Для градиентного отображения вводится условие ограничения ошибки (error bound condition) с показателем $\alpha\in (0,1]$. В случае выполнения этого условия доказывается, что стандартный метод проекции градиента сходится к решению задачи с линейной или сублинейной скоростью в зависимости от показателя $\alpha$. Работа носит теоретический характер. Библиография: 23 названия.

On the Gradient Projection Method for Weakly Convex Functions on a Proximally Smooth Set

“…В этом случае 𝑓 ′ (𝑥) = 0 для всех 𝑥 ∈ Ω. Например, последнее условие возникает при минимизации на гладких многообразиях [19; теорема 2]. Близкие по смыслу условия возникают и при минимизации на негладких множествах [20], [21]. Обозначим, для краткости, 𝑃 𝑥 𝑓 ′ = 𝑃 𝑇 (𝑄,𝑥) 𝑓 ′ (𝑥).…”