Интегральные Симметрии Эйлера Для Деформированного Уравнения Гойна И Симметрии Уравнения Пенлеве PVI

Abstract

Интегральные преобразования Эйлера связывают между собой решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, порождая в одних случаях интегральные представления решений, а в других случаях соотношения (симметрии Эйлера) между решениями связанных уравнений. Эти соотношения приводят к соответствующим симметриям матриц монодромии. Обсуждаются симметрии Эйлера для случая простейшей фуксовой системы, эквивалентной деформированному уравнению Гойна, которое связано с уравнением Пенлеве PVI. Наличие интегральных симметрий деформированного уравнения Гойна приводит к соответствующим симметриям уравнения PVI.

О системе Шлезингера с матрицами размера $2\times2$ и уравнении Белавина - Полякова - Замолодчикова

“…Уравнение (3) было найдено аналогично: путем исключения Д. П. НОВИКОВ неизвестных A i из системы (2) на основе теории из работы [16]. Отметим близость тематики замены переменных и интегральных преобразований [17], [18] для уравнений (3) и (2). Например, сдвиг параметров…”

“…где a = t 1 ∂ t1 , b = t 2 ∂ t2 , c = t 3 ∂ t3 , поэтому замыкание линейной оболочки семейства f n,m содержит не все решения уравнения (16). Допущение того, что при g = 2 замыкание линейной оболочки семейства (9) содержит все решения уравнения (8) или решения уравнения (7) с группой монодромии, коммутант которой неабелев, противоречит очевидному: соответствующие функции f n,m,l и решения уравнения (15) не удовлетворяют (17).…”

Polynomial degree reduction of a Fuchsian $2{\times}2$ system

“…Это представление имеет сходство с соответствующей формулой в работе [3]. Выбор последней формулы был сделан подбором, путем проб и ошибок.…”

“…Принимая во внимание значения характеристических экспонент на бесконечности Подчеркнем, что оба внедиагональных матричных элемента матрицы D имеют по одному нулю (помимо точки z 2 = 1), которые, вообще говоря, отвечают двум ложным особым точкам в соответствующих уравнениях второго порядка: одного уравнения для u 1 (z) и второго уравнения для u 2 (z). Эти уравнения в работе [3] названы Heun1. Они могут быть записаны в виде…”

“…где величина q принимает два значения q 1 и q 2 , которые соответствуют положению нулей внедиагональных матричных элементов D. Подробнее такие выкладки прослежены в работе [3]. Видно, что в выражениях (25) фигурируют параметры κ, β, e 1 , e 2 , e 3 , из них в силу тождества Фукса только четыре являются независимыми, а также параметр ρ. Таким образом, полученная система зависит от пяти параметров.…”