Двойная Обратная Задача Для Интегро-Дифференциального Уравнения Фредгольма Эллиптического Типа

Abstract

Рассматривается двойная обратная задача для уравнений в частных производных. Предлагается методика изучения однозначной разрешимости двойной обратной задачи для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма эллиптического типа с вырожденным ядром. Сначала модифицируется и развивается метод вырожденного ядра интегрального уравнения Фредгольма для случая интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма эллиптического типа. Получится дифференциально-алгебраическая система уравнений. Обратная задача называется двойной, если в задачу входит восстановление двух неизвестных функций по заданным дополнительным условиям. Вторая функция восстановления входит в первую функцию восстановления нелинейно. Относительно первой функции восстановления получится неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое решается методом вариации произвольных постоянных при начальных условиях. Относительно второй функции восстановления получится нелинейное интегральное уравнение первого рода, которое с помощью специального неклассического интегрального преобразования сводится к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Далее используется метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений. Ключевые слова: двойная обратная задача, эллиптическое уравнение, уравнение Фредгольма с вырожденным ядром, неоднородное дифференциальное уравнение, однозначная разрешимость.