Гамильтониан Дирака Со Сверхсильным Кулоновским Полем

Abstract

Рассмотрена проблема квантово-механического описания движения реляти-вистской дираковской частицы в кулоновском поле точечного заряда Ze. В ли-тературе часто высказывается утверждение о том, что квантово-механическое описание такой системы для значений заряда, больших так называемого кри-тического значения с Z = α −1 = 137, не существует. Это мнение основано на том факте, что стандартное выражение для энергии нижнего уровня дает ком-плексные значения при сверхкритических значениях заряда. Показано, что с математической точки зрения не существует никаких препятствий для постро-ения самосопряженных гамильтонианов при любых значениях заряда. Более того, переход через критическое значение заряда не приводит ни к каким ка-чественным изменениям в математическом описании системы. Специфическая особенность сверхкритических зарядов состоит в том, что самосопряженные га-мильтонианы в этом случае строятся не единственным образом. Однако такая неоднозначность существует и при значениях заряда, меньших критического (но больших субкритического значения с Z = ( √ 3/2)α −1 = 118). Найдены спектры и (обобщенные) собственные функции для всех самосопряженных га-мильтонианов. При построении гамильтонианов и их спектральном анализе ис-пользуются соответственно методы теории самосопряженных расширений сим-метрических операторов и метод направляющих функционалов Крейна. Вопрос об отношении построенной одночастичной квантовой механики к реальной фи-зике электронов в сверхкритических кулоновских полях, где многочастичные эффекты могут оказаться определяющими, остается открытым.Ключевые слова: дираковский гамильтониан, кулоновское поле, самосопряженные расширения, спектральный анализ. ВВЕДЕНИЕХорошо известно, что полные системы решений релятивистских волновых урав-нений (уравнений Клейна-Гордона, Дирака и т.д.), будучи использованы при кван-товании соответствующих свободных полей (скалярного, спинорного и т.д.), позво-ляют интерпретировать такие квантовые теории в терминах невзаимодействующих * Физический Институт им. П. Н. Лебедева РАН, Москва, Россия.

Дискретные Спектры Дираковского Гамильтониана В Кулоновских Потенциалах И Потенциалах Ааронова - Бома В $2+1$ Измерениях

“…Впервые самосопряженные дираковские гамильтонианы в сильном кулоновском поле точечного источника были построены в работе [20].…”

“…Затем мы получаем уравнения, неявно определяющие спектры дираковских гамильтонианов в указанных внешних полях, и обсуждаем вопрос о собственных функциях всех самосопряженных гамильтонианов. Решение этих задач проводится методами теории самосопряженных расширений (фон Нейма-на) симметрических операторов и направляющих функционалов Крейна, развитыми в работах [20]- [23]. В настоящей работе мы используем результаты статьи [20], где эти методы получили дальнейшее развитие.…”

“…Решение этих задач проводится методами теории самосопряженных расширений (фон Нейма-на) симметрических операторов и направляющих функционалов Крейна, развитыми в работах [20]- [23]. В настоящей работе мы используем результаты статьи [20], где эти методы получили дальнейшее развитие.…”

“…. и s и произвольных a, b, B. При ее решении мы следуем работе [20]. Мы будем различать так называемые дифференциальные выраженияǩ и опе-раторы k и будем называть k оператором, ассоциированным с дифференциальным выражениемǩ.…”

“…Однако для этих частных значений γ + s можно построить аналоги дублетов U 2 и V 1 . Такие дублеты, сконструированные вблизи некоторого фиксированного n, должны быть решениями радиальных уравнений, хорошо определенными как в некоторой окрест-ности точки γ + s = n/2, так и в самой этой точке (мы следовали работе [20]). Дублет U 2 имеет сингулярность вида Γ(−2γ…”