Τοπολογίες Σε Σύνολα Συναρτήσεων

Abstract

Έστω Y, Z τοπολογικοί χώροι, C(Y,Z) το σύνολο των συνεχών απεικονίσεων του χώρου Y στο χώρο Z, Μ(Υ,Ζ) το σύνολο των μετρήσιμων απεικονίσεων του χώρου Y στο χώρο Z, σ_{Ζ}(τ_{Υ}) το σύνολο που αποτελείται από τα υποσύνολα f^{-1}(B) του Y, όπου f\in M(Y,Z) και B μετρήσιμο υποσύνολο του Z, και B(Y,Z) το σύνολο των Baire απεικονίσεων του χώρου Y στο χώρο Z. Επί του συνόλου C(Y,Z) ορίζουμε τοπολογίες τις οποίες καλούμε F_n(τ_n) -family-open. Μελετάμε τις τοπολογίες αυτές και δίνουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες έτσι, ώστε να είναι διαχωριστικές και συνδετικά συνεχείς.Επί του συνόλου M(Y,Z) ορίζουμε και μελετάμε τις έννοιες των μετρήσιμων και χωριστά μετρήσιμων A -διαχωριστικών και A -συνδετικά συνεχών τοπολογιών, όπου A είναι μία οικογένεια τοπολογικών χώρων. Επισημαίνουμε ότι επί του M(Y,Z) , γενικά, δεν υπάρχει η μεγαλύτερη χωριστά μετρήσιμη A-διαχωριστική τοπολογία. Το γεγονός αυτό αποτελεί ένα διαφορετικό αποτέλεσμα από τη κλασσική θεωρία των χώρων συναρτήσεων. Επίσης, παρουσιάζουμε και μελετάμε σχέσεις μεταξύ των τοπολογιών επί των συνόλων Μ(Υ,Ζ) και σ_{Ζ}(τ_{Υ}) , όσον αφορά τις έννοιες των μετρήσιμων και χωριστά μετρήσιμων A - διαχωριστικών και A-συνδετικά συνεχών τοπολογιών. Ανάλογα αποτελέσματα παρουσιάζουμε για τοπολογίες επί του συνόλου B(Y,Z). Τέλος, θεωρούμε τα σύνολα B^{α}(Y,Z) , όπου α < ω_{1} , των Borel απεικονίσεων τύπου α του χώρου Y στο χώρο Z και G^{Z}_{α}(Υ) που αποτελείται από όλα τα υποσύνολα f^{-1}(U) , όπου f\in B^{α}(Y,Z) και U ανοικτό υποσύνολο του χώρου Z. Επί των συνόλων B^{α}(Y,Z) και G^{Z}_{α}(Υ) ορίζουμε νέες τοπολογίες και ερευνούμε σχέσεις μεταξύ των τοπολογιών αυτών.